一个几何不等式

初中几何问题设ABCDEF是凸六

设ABCDEF是凸六边形，且AB=BC,CD=DE,EF=FA。 求证:BC/BE+DE/DA+FA/FC>=3/2。 证明 记AC=a,CE=b,AE=c。 对四边形ACEF运用Ptolemy不等式得: AC*EF+CE*AF>=CF*AE， a*EF+b*AF>=CF*c 因为EF=AF，所以 FA/CF>=c/(a+b)。 同理可得: DE/DA>=b/(c+a); BC/BE>=a/(b+c)。 故有 BC/BE+DE/DA+FA/FC>=a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b) ， (1) 所以欲证 BC/BE+DE/DA+FA/FC>=3/2。 ...全部

  设ABCDEF是凸六边形，且AB=BC,CD=DE,EF=FA。 求证:BC/BE+DE/DA+FA/FC>=3/2。 证明 记AC=a,CE=b,AE=c。 对四边形ACEF运用Ptolemy不等式得: AC*EF+CE*AF>=CF*AE， a*EF+b*AF>=CF*c 因为EF=AF，所以 FA/CF>=c/(a+b)。
   同理可得: DE/DA>=b/(c+a); BC/BE>=a/(b+c)。 故有 BC/BE+DE/DA+FA/FC>=a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b) ， (1) 所以欲证 BC/BE+DE/DA+FA/FC>=3/2。
   (2) 只需证 a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)>=3/2 (3) 根据柯西不等式得: [a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)][a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)]>=(a+b+c)^2 故欲证式只需证: 2(a+b+c)^2>=3[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)] (b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2>=0, 显然成立。
  易验证当正六边形时等号成立。 。收起