数学 初高中衔接题

不定方程问题求不定方程x1+x2

不定方程 x1+x2+x3+……xm=n（n≥m）的正整数解中的每一个分量xi(i=1,2,。。,m)至少为1且至少有一个不小于1，这样我们把n看成是由n个1组成的正整数，它们之间有n-1个空格（此时不算头尾的两个空），然后用m-1个挡板进行插空，就可以得到m堆数,每一堆数对应一个分量xi(i=1,2,。 。。,m)。这样的组合数有C(n-1,m-1)种，就是不定方程的正整数解数。 这个是比较简单的，求完这个后，就可以相应的求不定方程 x1+x2+。。。+xk=r --------------------（1） (k,r属于正整数）的非负整数解的个数。 方程（1）的求法有好多种...全部

  不定方程 x1+x2+x3+……xm=n（n≥m）的正整数解中的每一个分量xi(i=1,2,。。,m)至少为1且至少有一个不小于1，这样我们把n看成是由n个1组成的正整数，它们之间有n-1个空格（此时不算头尾的两个空），然后用m-1个挡板进行插空，就可以得到m堆数,每一堆数对应一个分量xi(i=1,2,。
  。。,m)。这样的组合数有C(n-1,m-1)种，就是不定方程的正整数解数。 这个是比较简单的，求完这个后，就可以相应的求不定方程 x1+x2+。。。+xk=r --------------------（1） (k,r属于正整数）的非负整数解的个数。
   方程（1）的求法有好多种，一种就是转化成为上面所求的。 另外还可以用生成函数求解：我们可以这样理解，先考虑x1,x1最小可以取0，最大可以最r;同理对于其它的xi(i=2,3,。。。,k)也一样，但是它们必同时满足（1）（这里有点?铝耍缓靡馑迹? 生成函数G(x)=(1+y+y^2+。
  。。+y^r)(1+y+y^2+。。。+y^r)。。。(1+y+y^2+。。。+y^r)（总共有k个因式相乘，每个因式对应一个xi(i=1,2,。。。,k))是个幂级数，其中y^r的系数a(r)就是（1）的非负整数解个数。
   第i个因式（1+y+y^2+。。。+y^r)中的y^mi(mi=0,1,。。。,r)表示xi取mi,由于每个因式都这样，最终乘出来时的y^r是k个y^mi个相乘，得到 r=m1+m2+。
  。。+mk,与（1）有相同的解。 至于生成函数的系数怎么求，由于我们考虑的幂级数都是收敛的， 所以生成函数G(x)=[1/(1-y)]^k,最终可以像用二项式定理的展开那样，系数用组合的形式写成一个和式。
  由于符号在这里不好写，所以在这里就略了，还请见谅。 。收起