勾股数设a,b,c为正整数,且a^2+b^2=c^2,则称a,b,c为勾股数.
证明:勾股数都能用m^2-n^2,2mn,m^2+n^2表示(m,n为正整数,且m>n).
题目有误！
如a=6，b=8，c=10，6不能表示成两个正整数的平方差，
再如a=9，b=12，c=15，15不能表示成两个正整数的平方和。
题目应该改为
1。设a,b,c为正整数,且a^2+b^2=c^2,则称a,b,c为勾股数。
证明:当（a，b）=1时（即互质），勾股数都能用m^2-n^2,2mn,m^2+n^2表示(m,n为正整数,且m>n)。
2。设a,b,c为正整数,且a^2+b^2=c^2,则称a,b,c为勾股数。
证明:勾股数都能用（m^2-n^2）d,2mnd,（m^2+n^2）d表示(m,n为正整数,且m>n，（a，b）=d)。
证明如下：
这里证明1：
假设a...全部
题目有误！
如a=6，b=8，c=10，6不能表示成两个正整数的平方差，
再如a=9，b=12，c=15，15不能表示成两个正整数的平方和。
题目应该改为
1。设a,b,c为正整数,且a^2+b^2=c^2,则称a,b,c为勾股数。
证明:当（a，b）=1时（即互质），勾股数都能用m^2-n^2,2mn,m^2+n^2表示(m,n为正整数,且m>n)。
2。设a,b,c为正整数,且a^2+b^2=c^2,则称a,b,c为勾股数。
证明:勾股数都能用（m^2-n^2）d,2mnd,（m^2+n^2）d表示(m,n为正整数,且m>n，（a，b）=d)。
证明如下：
这里证明1：
假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可）
如果a,b均奇数，即除以4的余数只可能是1,3。
从而其平方除以4的余数只可能是1，（这是因为1^2=1,3^2=9=8+1）
则a^2 + b^2 除以4的余数只可能是2，但由于a,b均奇数，
从而c必为偶数，c^2必为4的倍数，即除以4余数为零。
结合a^2+b^2=c^2可推出矛盾。因此a，b中必定存在一个偶数。不妨设b为偶数并记b=2k，于是a，c均为奇数。
等式化为4k^2 = (c+a)(c-a)
作代换：M=(c+a)/2, N=(c-a)/2，可知M，N为正整数
并且k^2=MN
现在往证：(M,N)=1
如果存在质数p，使得p|M,p|N,
那么p|M+N(=c), p|M-N(=a),
从而p|c, p|a, 从而p|b，这与(a,b)=1矛盾
所以(M,N)=1得证。
依照算术基本定理，
k^2 =（ p1^a1） * （p2^a2） * （p3^a3 ）* 。。。，
其中a1,a2。。。均为偶数，p1,p2,p3。。。均为质数
如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，由于k^2=MN，
从而N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，这与 （M,N）=1矛盾 所以对于所有质因子,pi^2|M, 从而M是平方数，同样N也是平方数。
设M = m^2, N = n^2 从而有c+a = 2m^2, c-a= 2n^2，解得c=m^2+n^2, a=m^2-n^2, 从而b=2mn，
综上：当（a，b）=1时（即互质），勾股数都能用m^2-n^2,2mn,m^2+n^2表示(m,n为正整数，m>n)
视频讲解的证明请你参看：
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