张禾瑞第四版高等代数书习题，7.5第9题

多项式的除法－辗转相除法对这个概念不了

多项式的辗转相除法！ 整数固然有辗转相除法的现象，多项式也有相似的性质．假定a(x)与b(x)是两个多项式．用b(x)除a(x)得商式a0(x)，得余式r(x)，也就是 a(x)=a0(x)b(x)+r(x)， 　　而r(x)的次数小于b(x)的次数．如果r(x)≡0，则a(x)、 b(x)的最大公因式就是b(x)． 　　如果r(x)≡0，则以r(x)除b(x)得商式a1(x)，余式r1(x)，即 b(x)=a1(x)r(x)+r1(x)， 　　而r1(x)的次数小于r(x)的次数．如果r1(x)≡0，则r(x)就是a(x)与b(x)的最大公因式． 　　如果r1(x)≡0，则以r1(x)除...全部

  多项式的辗转相除法！ 整数固然有辗转相除法的现象，多项式也有相似的性质．假定a(x)与b(x)是两个多项式．用b(x)除a(x)得商式a0(x)，得余式r(x)，也就是 a(x)=a0(x)b(x)+r(x)， 　　而r(x)的次数小于b(x)的次数．如果r(x)≡0，则a(x)、 b(x)的最大公因式就是b(x)． 　　如果r(x)≡0，则以r(x)除b(x)得商式a1(x)，余式r1(x)，即 b(x)=a1(x)r(x)+r1(x)， 　　而r1(x)的次数小于r(x)的次数．如果r1(x)≡0，则r(x)就是a(x)与b(x)的最大公因式． 　　如果r1(x)≡0，则以r1(x)除r(x)得 r(x)=a2(x)r1(x)+r2(x)， 　　r2(x)的次数小于r1(x)的次数．这样一直下去，得出一系列的多项式 r(x)，r1(x)，r2(x)，… 　　它们的次数一个比一个小．当然不能无限下去，一定有时候会出现 rn-1(x)=an+1(x)rn(x)+rn+1(x) 　　及 rn(x)=an+2(x)rn+1(x) 　　的现象．这样便可以得出：rn+1(x)是a(x)与b(x)的最大公因式(证明让读者自己补出)．同样不难证明，如果d(x)是a(x)，b(x)的最大公因式，则一定有两个多项式p(x)与q(x)，使 a(x)p(x)+b(x)q(x)=d(x)． 　　特别有：如果a(x)和b(x)无公因式，则有p(x)与q(x)使 a(x)p(x)+b(x)q(x)=1． 　　多项式既然有这一性质，就启发出应当有多项式的“神奇妙算”． 　　例如：有三个无公因子的多项式p(x)、q(x)、r(x)，求出一个多项式f(x)使p(x)、q(x)、r(x)除之各余a(x)、b(x)、c(x)．并且要f(x)的次数最低． 　　根据孙子原则：先找出q(x)、r(x)除尽而p(x)除余1的多项式A(x)；再找出r(x)、p(x)除尽而q(x)除余1的多项式B(x)；更找出p(x)、q(x)除尽而r(x)除余1的多项式C(x)．则 A(x)a(x)+B(x)b(x)+C(x)c(x) 　　就是p(x)、q(x)、r(x)除各余a(x)、b(x)、c(x)的多项式．但并非最低次．再以p(x)q(x)r(x)除之，所得出的余式就是最低次的适合要求的多项式了． 用辗转相除法求最大公约数 。
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