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张禾瑞版高等代数书习题,9.1第一题

证明,一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同

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2007-11-05

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  A为一个非奇异的对称矩阵,则有正交矩阵P使: A=PBP^t, 其中B=diag(λ1,λ2,。。,λn),λ1,λ2,。。,λn为A的特征值。 ==> A^(-1)=PB^(-1)P^t= =PB^(-1)P^tPBP^tPB^(-1)P^t= =[PB^(-1)P^t]A[PB^(-1)P^t]^t, 其中B^(-1)=diag(1/λ1,1/λ2,。
  。,1/λn)。 ==>A和A^(-1)合同。 。

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