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高中数学 空间向量

在正四面体ABCD中,点E为BC的中点,F为AD的中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值是多少?谢谢!

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2007-08-30

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连接ED,取ED的中点G,联结CG,设棱长为2 角CFG或其补角为线先角! 因为FC=√3,FG=√3/2,GC=√7/2 所以cosCFG=..=2/3

2007-08-31

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    解: 连接BF,在平面BCF中做EG平行于CF,连接AG。 ∠AEG为直线AE与CF所成角。 为计算方便,设正四面体ABCD棱长为2。
     显然 AE = CF = 根号(2^2 - 1^2) = 根号3 EG是三角形BCF的中位线,所以 EG = CF/2 = (根号3)/2 下面求AG 显然∠ABF =30度(BF是∠ABD的角平分线) BG = BF/2 = CF/2 = (根号3)/2 根据余弦定理,有 AG^2 = AB^2 + BG^2 - 2*AB*BG*cos∠ABF =2^2 + ((根号3)/2)^2 - 2*2*((根号3)/2)*cos30度=7/4 再使用余弦定理,有 AG^2 = AE^2 + EG^2 - 2*AE*EG*cos∠AEG 7/4 = (根号3)^2 + ((根号3)/2)^2 - 2*(根号3)*((根号3)/2)*cos∠AEG cos∠AEG = 2/3 余弦值是2/3。

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