锐角三角函数问题

锐角三角函数

在非钝角三角形ABC中，求证: cosA+cosB+cosC+1≤sinA+sinB+sinC。 (1) 下面给一个高中同学能够接受的证法。 证明:sinA+sinB+sinC-(cosA+cosB+cosC+1) =2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)+2sin(C/2)cos(C/2)-2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)-2(cos(C/2))^2 =2cos(C/2)cos((A-B)/2)+2sin(C/2)cos(C/2)-2sin(C/2)cos((A-B)/2)-2(cos(C/2))^2 =2{[cos(C/2)-sin(C/2)]...全部

  在非钝角三角形ABC中，求证: cosA+cosB+cosC+1≤sinA+sinB+sinC。 (1) 下面给一个高中同学能够接受的证法。 证明:sinA+sinB+sinC-(cosA+cosB+cosC+1) =2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)+2sin(C/2)cos(C/2)-2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)-2(cos(C/2))^2 =2cos(C/2)cos((A-B)/2)+2sin(C/2)cos(C/2)-2sin(C/2)cos((A-B)/2)-2(cos(C/2))^2 =2{[cos(C/2)-sin(C/2)]cos((A-B)/2)+[sin(C/2)-cos(C/2)]cos(C/2)} =2[cos(C/2)-sin(C/2)][cos((A-B)/2)-cos(C/2)] (2) 因为在非钝角三角形中,有 -π/40, 于是[cos(C/2)-sin(C/2)][cos((A-B)/2)-cos(C/2)]≥0, (3) 因此,由(2),(3)得 sinA+sinB+sinC-(cosA+cosB+cosC+1)≥0, 即cosA+cosB+cosC+1≤sinA+sinB+sinC。
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