锐角三角函数

高中三角函数不等式设A,B,C为

此题关键将1式证明，因为(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=1+1+1=3，1式得证则2式明显成立。 那么,我们来证明1式: 根据x^2+y^2>=2xy 1式左边>=2cosAcosB+cosC^2---(3) 1式左边>=2cosAcosC+cosB^2---(4) 1式左边>=2cosBcosC+cosA^2---(5) (3)+(4)+(5)得 1式左边*3>=(cosA+cosB+cosC)^2---(6) 当且仅当cosA=cosB=cosC=cos(π/3)=1/2时等号成立 此时 (cosA)^2+(c...全部

  此题关键将1式证明，因为(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=1+1+1=3，1式得证则2式明显成立。 那么,我们来证明1式: 根据x^2+y^2>=2xy 1式左边>=2cosAcosB+cosC^2---(3) 1式左边>=2cosAcosC+cosB^2---(4) 1式左边>=2cosBcosC+cosA^2---(5) (3)+(4)+(5)得 1式左边*3>=(cosA+cosB+cosC)^2---(6) 当且仅当cosA=cosB=cosC=cos(π/3)=1/2时等号成立 此时 (cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2>=(1/3)(3/2)^2=3/4 (6)并非严格证明，故上述方式只是举个例子。
   此题可用反正法，假设，存在一个三角形，不妨设角A>=B>=C，存在与题设相反的关系即(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=B>=C 所以cosAπ 分3种情况，当 1。
  三角型为锐角三角型时,则cosA，cosB，cosC均为正，cos(π/6)^2=3/4,得C>π/6,而A>=B>=C,则CC时，有 cosA^2+cosB^2+cosC^2 =2cos(π/2-C/2)^2+cosC^2 =cos(π-C)+1+cosC^2 =(cosC-1/2)^2+3/4>=3/4 （注，只能在锐角三角形下可获得极值，因cosC能经过了1/2这个极点） 即假设不成立 2。
  三角型为直角三角型时，因A角就为直角，所以cosA^2+cosB^2+cosC^2=cosB^2+sinB^2=1,即 三角型为直角三角型时 (cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1>=3/4， 即假设不成立 3。
  三角型为钝角三角型时，不妨设A为钝角，B=C,则π/2=3/4 所以，针对所有类型的三角型，假设均不成立，所以1式得证。收起