轨迹方程探求问题
在立体图形中求符合某些条件的动点轨迹,往往是一个难点。最基本的思路是将空间问题平面化。 【例1】 如图1,正方体AC1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1距离相等,则动点P的轨迹是( )。 A。 直线 B。 圆 C。 双曲线 D。 抛物线 解析: 作PE⊥BC。因为C1D1⊥面BC1,所以C1D1⊥PC1,即PC1=PE,即动点P到定点C1的距离等于它到定直线BC的距离,所以动点P的轨迹是抛物线。 故选D。 【例2】 正方体AC1的棱长为1,点M在棱AB上,且AM=,点P是平面ABCD上的动点,且动点P...全部
在立体图形中求符合某些条件的动点轨迹,往往是一个难点。最基本的思路是将空间问题平面化。 【例1】 如图1,正方体AC1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1距离相等,则动点P的轨迹是( )。
A。 直线 B。 圆 C。 双曲线 D。 抛物线 解析: 作PE⊥BC。因为C1D1⊥面BC1,所以C1D1⊥PC1,即PC1=PE,即动点P到定点C1的距离等于它到定直线BC的距离,所以动点P的轨迹是抛物线。
故选D。 【例2】 正方体AC1的棱长为1,点M在棱AB上,且AM=,点P是平面ABCD上的动点,且动点P到直线A1D1距离的平方与点P到点M的距离的平方的差为1,则动点P的轨迹是( )。
A。 圆 B。 抛物线 C。 双曲线 D。 直线 解析: 如图2,作PE⊥AC,EF⊥A1D1,则PE⊥面AD1,由三垂线定理知PF⊥A1D1,所以PF2=PE2+EF2=PM2+1,因为EF=1,所以PE=PM,即点P到定点M与到定直线AD的距离相等,所以点P的轨迹是抛物线,故选B。
【例3】 正方体AC1的棱长是1,P是平面AB1C上的动点,且PD1=,则点P的轨迹是( )。 A。 圆 B。 抛物线 C。
双曲线 D。 椭圆 解析: 如图3,在正四面体D1-AB1C中,易求得D1到面AB1C的距离D1E=,又PD1=,所以PE=, 这说明在平面AB1C内,动点P到定点E的距离是定值,所以动点P的轨迹是圆,选A。
【例4】 如图4,P是正四面体S-ABC的面SBC上一点,P到面ABC的距离与到点S的距离相等,则动点P的轨迹是( )。 A。 圆 B。 椭圆 C。
双曲线 D。 抛物线 解析: 过P作PD⊥面ABC,则PD=PS,过D作DE⊥BC,连结PE,则PE⊥BC,且∠PED是二面角S-BC-A的平面角,为定值θ,且PD=PEsinθ,即PS=PEsinθ,显然PE>PS,这说明动点P到定点S的距离与它到定直线BC的距离之比为大于0小于1的常数,故选B。
【例5】 四棱锥P-ABCD中,AD⊥面PAB,BC⊥面PAB,底面ABCD为梯形,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠CPB,满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是( )。 A。
圆 B。 不完整的圆 C。 抛物线 D。 抛物线的一部分 解析: 由AD⊥面PAB,BC⊥面PAB知AD∥BC,且∠DAP=∠CBP=90°,又∠APD=∠CPB及AD=4,BC=8,AB=6,可得tan∠APD==tan∠CPB,即=2。
在平面PAB内以AB所在直线为x轴,AB中点O为坐标原点建立直角坐标系,则A(-3,0),B(3,0)。 设点P(x,y),则 整理得一个圆的方程,由于P点不在直线AB上, 故轨迹为一个不完整的圆,选B。
【例6】 如图5,正方体AC1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总是保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是( )。 A。 线段B1C B。 线段BC1 C。
BB1中点与CC1中点连成的线段 D。 BC中点与B1C1中点连成的线段 解析: BD1⊥面ACB1,可判定P在线段B1C上,故选A。 由以上几例可知,在立体图形中求动点轨迹,主要的方法是用圆或圆锥曲线定义去判断轨迹是什么图形,要有意识地去探索动点到定点,动点到定直线的距离的关系,从而根据圆锥曲线定义得出结论,当然有时还要根据一些熟悉的结论去判定。
高考加强了对知识在交汇点处的考查,所以这类问题必须引起重视。收起