函数y=(2-sinx)/(2-cosx)的最大值
解法一：可将该式看作定点(2,2)和动点(cosx,sinx)连线的斜率,而动点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆,所以可把问题化成求单位圆上的动点和定点A(2,2)连线的斜率的最大值。
承上分析,设切线的斜率为k,则切线方程为y-2=k(x-2),
即y-kx+2(k-1)=0
由于单位圆圆心到切线的距离等于1,有
|0-k·0+2(k-1)|/√[1+(-k)²]=1,解得k=(4±√7)/3。
由图像可知过点A(2,2)与单位圆上各点连线的斜率的最大值为(4+√7)/3。即y的最大值为(4+√7)/3。
解法二：原函数化为sinx-ycosx=2-2y
√(1+y&s...全部
解法一：可将该式看作定点(2,2)和动点(cosx,sinx)连线的斜率,而动点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆,所以可把问题化成求单位圆上的动点和定点A(2,2)连线的斜率的最大值。
承上分析,设切线的斜率为k,则切线方程为y-2=k(x-2),
即y-kx+2(k-1)=0
由于单位圆圆心到切线的距离等于1,有
|0-k·0+2(k-1)|/√[1+(-k)²]=1,解得k=(4±√7)/3。
由图像可知过点A(2,2)与单位圆上各点连线的斜率的最大值为(4+√7)/3。即y的最大值为(4+√7)/3。
解法二：原函数化为sinx-ycosx=2-2y
√(1+y²)·sin(x-θ)=2-2y,其中θ满足sinθ=y/√(1+y²),cosθ=1/√(1+y²),
∴sin(x-θ)=(2-2y)/√(1+y²)。
∵|sin(x-θ)|≤1,∴|(2-2y)/√(1+y²)|≤1,
得3y²-8y+3≤0。
解得(4-√7)/3≤y≤(4+√7)/3,所以最大值为(4+√7)/3。
解法三：设t=tan(x/2),则
y=[2-2t/(1+t²)]/[2-(1-t²)/(1+t²)]
`=(2t²-2t+2)/(3t²+1)。
即(3y-2)t²+2t+(y-2)=0。
当y=2/3时,上述方程有解t=2/3。
当y≠2/3时,上述方程有解,须Δ=2²-4(3y-2)(y-2)≥0。
得(4-√7)/3≤y≤(4+√7)/3,所以最大值为(4+√7)/3。
。收起
