已知数列满足,求证:数列为等差数列的充要条件是.

高一数学问题

已知在正整数数列｛an}中，前n项和sn满足：Sn=1/8（an+2)^2 求证：{an}是等差数列。 已知Sn=(an+2)^2/8 所以，S1=a1=(a1+2)^2/8 ===> (a1+2)^2=8a1 ===> a1^2+4a1+4=8a1 ===> a1^2-4a1+4=0 ===> (a1-2)^2=0 ===> a1=2 又，S=[a+2]^2/8 所以，Sn-S=[(an+2)^2-(a+2)^2]/8 即，an=[(an+2)^2-(a+2)^2]/8 ===> 8an=an^2+4an+4-a^2-4a-4 ===> 8an=an^2+4an-a^2-4a ===> ...全部

  已知在正整数数列｛an}中，前n项和sn满足：Sn=1/8（an+2)^2 求证：{an}是等差数列。 已知Sn=(an+2)^2/8 所以，S1=a1=(a1+2)^2/8 ===> (a1+2)^2=8a1 ===> a1^2+4a1+4=8a1 ===> a1^2-4a1+4=0 ===> (a1-2)^2=0 ===> a1=2 又，S=[a+2]^2/8 所以，Sn-S=[(an+2)^2-(a+2)^2]/8 即，an=[(an+2)^2-(a+2)^2]/8 ===> 8an=an^2+4an+4-a^2-4a-4 ===> 8an=an^2+4an-a^2-4a ===> an^2-4an-a^2-4a=0 ===> (an^2-a^2)-4(an+a)=0 ===> (an+a)*(an-a)-4(an+a)=0 ===> (an+a)*(an-a-4)=0 已知数列各项为正整数，即an、a＞0 所以，an-a-4=0 所以，an-a=4 即，数列an是以a1=2为首项，公差d=4的等差数列 即，an=a1+(n-1)d=2+(n-1)*4=4n-2 【检验： 根据等差数列求和公式有，Sn=na1+[n(n-1)d]/2 =2n+[n(n-1)*4]/2=2n+2n(n-1)=2n^2 而，题目所给表达式为Sn=(an+2)^2/8=[(4n-2)+2]^2/8 =(4n)^2/8=2n^2 显然是相等的。
  】。收起