抛物线问题
已知抛物线y=x^-2ax+b在轴上截得的线段长为d，其顶点在另一抛物线y= -x^-1上移动。（1）d在何时取最小值，其取值与何值有关？（2）当d=4时，求抛物线的解析式。
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解：
(1)
抛物线y=x^-2ax+b=(x-a)^2+(b-a^2)
其顶点为（a,b-a^2),代入抛物线y= -x^-1，得
b-a^2=-a^2-1
解得b=-1
又抛物线y=x^-2ax+b在轴上截得的线段长为d,则x^-2ax+b=0的两个根x1,x2（不妨设x2>x1)满足:
x2-x1=d
x1+x2=2a
x1x2=b=-1
（x2-x1)^2=(x1+x2)^2-4x1x2
即d^2=4a^2+4
d=2√(a^2+1)≥2,
即当a=0时，dmin=2, d的取值与a有关。
(2) 当d=4时,由d=2√(a^2+1)，解得a=±√3 抛物线的解析式为 y=x^-(2√3）x-1 或 y=x^+(2√3）x-1 。
(2) 当d=4时,由d=2√(a^2+1)，解得a=±√3 抛物线的解析式为 y=x^-(2√3）x-1 或 y=x^+(2√3）x-1 。
抛物线y=x^-2ax+b化为: [y-(b-a^2)] = (x-a)^2, 因此, 顶点为(a,b-a^2)
有: (b-a^2) = -a^2 -1, ===> b = -1。
。。(1) 令y = 0 : x^-2ax+b = 0, ==> x1+x2 = 2a, x1*x2 = b d = |x1-x2| = genhao[(x1+x2)^2 - 4*(x1*x2)] = 2*genhao(a^2 + 1) 当a = 0时, d取最小值=2, 它只与a有关。
当d = 4时: a = genhao3 此时, 抛物线为: y = x^2 - 2x*genhao3 -1 。
。。(1) 令y = 0 : x^-2ax+b = 0, ==> x1+x2 = 2a, x1*x2 = b d = |x1-x2| = genhao[(x1+x2)^2 - 4*(x1*x2)] = 2*genhao(a^2 + 1) 当a = 0时, d取最小值=2, 它只与a有关。
当d = 4时: a = genhao3 此时, 抛物线为: y = x^2 - 2x*genhao3 -1 。
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