请大家帮忙看看：一道初三几何题目
原以为PD变化，过C、A、P三点的圆直径变化，会导致AB改变。因此想推导出AB与PD的关系，所以原解法过于复杂。最终结果出乎意料，AB为常数=3。
知道结果后，回过头看，可以大大简化解法。
不过楼主要求不用三角函数，得重新考虑。如果仅用全等来解，恐怕不可能，可以用相似三角形来解决。因为已经上传过图形，我不知道如何重新上传图形，只能用文字详细说明解题方法。
【1】首先，就原图，分析圆上的角度与三角形CDP之间的角度对应关系
P平分弧CPB→∠CBP=∠BCP 记为u
∵ACBP四点共圆，∠CBP与∠CAP互补
∠DAP与∠CAP邻角互补
∴∠CBP=∠DAP=u
等弧对等角∠CBA=∠...全部
原以为PD变化，过C、A、P三点的圆直径变化，会导致AB改变。因此想推导出AB与PD的关系，所以原解法过于复杂。最终结果出乎意料，AB为常数=3。
知道结果后，回过头看，可以大大简化解法。
不过楼主要求不用三角函数，得重新考虑。如果仅用全等来解，恐怕不可能，可以用相似三角形来解决。因为已经上传过图形，我不知道如何重新上传图形，只能用文字详细说明解题方法。
【1】首先，就原图，分析圆上的角度与三角形CDP之间的角度对应关系
P平分弧CPB→∠CBP=∠BCP 记为u
∵ACBP四点共圆，∠CBP与∠CAP互补
∠DAP与∠CAP邻角互补
∴∠CBP=∠DAP=u
等弧对等角∠CBA=∠CPA记为r
【2】AC=1，如果AB=3，是3倍的关系，
可以想到三角形的重心将中线分为1:2两段，短的一段与中线必为1:3，能否用以证明。
在直角△CDP中，AP是中线，记CB中点为M,连接MD，MD交AP于N。MD也是中线→N为重心。
斜边的中线MD = 斜边CP的一半→MD =MP，MN=MD/3 =MP/3
∠PCD =∠MDC记为t
也就是说，△MNP中，MN：MP=1:3
∠MNP=180°-∠MNA =180°-（∠PAD+∠MDA）= 180°-（u+t）
【3】而在圆内的△ABC中，∠CBA=∠CPA= r，
∠BCD=∠DCP +∠PCB = t+u
【4】试比较△MNP和△ABC：一角相等，一角互补，显然不相似。
但从互补，我们可以构建一个新的互补三角形：延长BC至E，使EA=AB，成为新的△ACE
EA=AB →∠CBA=∠AEC=r
∠ACE=180°-∠ACB = 180°-（u+t）
∴△ACE∽△MNP
AC: AE =MN：MP=1:3
AC: AB= AC: AE=1:3
AC=1→AB=3 证毕
因为没有图，解释较?隆２恢芊袼登宄?
。
收起
