等周原理
证明：在周长固定的所有图形中，圆的面积最大。
全部回答
第一步，证明面积最大的图形一定是凸形。
第二步：在此图形中，一条直线把它分成两部分，两部分的周长相等，证明S1＝S2。
第三步，证明此图形是圆。 在上一步的基础上，只要证明ACBA是半圆就行了，或者，设C是曲线AB上的任意一点，只要证明∠ACB＝90度就行了。
假设∠ACB＝90度不成立，我们可以把两片图形剪下来，贴成另一个图形A’C’B’A’，使∠A’C’B’＝90度，由于△ACB的面积小于△A’C’B’的面积，所以A’C’B’A’所围成的图形比ACBA所围成的面积大。
这时A’C’B’A’加上它的“另一半”所成的图形的周长仍是l，但面积却比ACBA加上它的“另一半”所成的图形的面积大，所以有比此图形更大的图形，所以∠ACB＝90度，ACB一定是半圆。 所以，在周长相等的一切封闭曲线中，以圆所围成的面积最大。
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假设∠ACB＝90度不成立，我们可以把两片图形剪下来，贴成另一个图形A’C’B’A’，使∠A’C’B’＝90度，由于△ACB的面积小于△A’C’B’的面积，所以A’C’B’A’所围成的图形比ACBA所围成的面积大。
这时A’C’B’A’加上它的“另一半”所成的图形的周长仍是l，但面积却比ACBA加上它的“另一半”所成的图形的面积大，所以有比此图形更大的图形，所以∠ACB＝90度，ACB一定是半圆。 所以，在周长相等的一切封闭曲线中，以圆所围成的面积最大。
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我首先要证明，面积最大的图形满足一个性质：一条平分周长的直线（暂且把它叫做周长平分线），一定也平分面积。因为，如果不平分面积的话，那么我总可以把面积较大的那块翻到另一边去，使得周长不变，而面积增大（如左图，红色曲线围成的面积大于蓝色曲线）。
好了，接下来，我要再证明面积最大的图形满足第二条性质：周长平分线与曲线的两个交点和曲线上任意一点构成的三角形，必然是直角三角形。 因为，如果它不是直角三角形，我可以把他拉伸或压缩一下，使它成为直角三角形，这样新三角形的面积大于原三角形的面积（证明省略，主要使用S=absinθ/2），而图形其他部分面积不变，这样面积就扩大了。
因此，面积最大的图形满足上述两条性质，我们就不难推出它是圆了。 。
好了，接下来，我要再证明面积最大的图形满足第二条性质：周长平分线与曲线的两个交点和曲线上任意一点构成的三角形，必然是直角三角形。 因为，如果它不是直角三角形，我可以把他拉伸或压缩一下，使它成为直角三角形，这样新三角形的面积大于原三角形的面积（证明省略，主要使用S=absinθ/2），而图形其他部分面积不变，这样面积就扩大了。
因此，面积最大的图形满足上述两条性质，我们就不难推出它是圆了。 。
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