向量问题已知m,n是夹角为60度
由a=2m+n和b=-3m+n，得a-b=5m，3a+2b=5n
(a-b)·(3a+2b)=3(a·a)+2(a·b)-3(b·a)-2(b·b)
=3|a|^2-a·b-2|b|^2=3|a|^2-|a||b|cos-2|b|^2
又(a-b)·(3a+2b)=5m·5n=25(m·n)=25|m||n|cos60度=25/2
有3|a|^2-|a||b|cos-2|b|^2=25/2……(1)
==> cos=[3|a|^2--2|b|^2-25/2]/(|a||b|)
==> cos=[6|a|^2--4|b|^2-25]/(2|a||b|)……(2)
在a、b、a-b构成的三角形...全部
由a=2m+n和b=-3m+n，得a-b=5m，3a+2b=5n
(a-b)·(3a+2b)=3(a·a)+2(a·b)-3(b·a)-2(b·b)
=3|a|^2-a·b-2|b|^2=3|a|^2-|a||b|cos-2|b|^2
又(a-b)·(3a+2b)=5m·5n=25(m·n)=25|m||n|cos60度=25/2
有3|a|^2-|a||b|cos-2|b|^2=25/2……(1)
==> cos=[3|a|^2--2|b|^2-25/2]/(|a||b|)
==> cos=[6|a|^2--4|b|^2-25]/(2|a||b|)……(2)
在a、b、a-b构成的三角形中应用余弦定理，有
|a-b|^2=|a|^2+|b|^2-2|a||b|cos
==> cos=(|a|^2+|b|^2-|a-b|^2)/(2|a||b|)
=(|a|^2+|b|^2-25)/(2|a||b|)……(3)
由(2)(3)，有6|a|^2--4|b|^2-25=|a|^2+|b|^2-25
==> |a|=|b|
代入(3)，得到 cos=1-25/(2|a|^2)
因为a=2m+n=2m-(-n)，且m,n是夹角为60度的两个单位向量，
在2m、-n、a构成的三角形中应用余弦定理，有
|a|^2=|2m|^2+|n|^2-2|2m||-n|cos(180-60)=4+1-4*(-1/2)=7
所以cos=1-25/14=-11/14
==> a、b的夹角=arccos(-11/14)
。
收起
