已知向量a与b的夹角为2π/3,且|a|=2,|b|=3求|(3a-2b)*(a+2b)|【注意不是点,是乘。不是数量积,是向量积】
向量乘有一个性质,a*a =0; a*b = -b*a; |a*b| = |a||b|sin(a与b夹角); 因此(3a-2b)*(a+2b) = 6a*b -2b*a = 8a*b |(3a-2b)*(a+2b)| =8|a*b| = 8absin(夹角) = 8*2*3*sin(2π/3) = 24sqrt(3)
题目要求|(3a-2b)×(a+2b)|, 这里的×是向量积,也称外积。a×b是一个向量,其长度|a×b|=|a||b|sin。外积满足反交换律:a×b=-b×a;分配律a×(b+c)=a×b+a×c。
还有a×a=0。根据这些可以得到|(3a-2b)×(a+2b)|=|(3a-2b)×a+(3a-2b)×2b|=|-a×(3a-2b)-2b×(3a-2b)|=|2a×b-6b×a|=|2a×b+6a×b|=8|a×b|=8|a||b|sin=8*2*3*sin(2π/3)=48*sqrt(3)/2=24*sqrt(3)。
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|(3a-2b)*(a+2b)|=|(3a-2b)×(a+2b)| =|3a×a+3a×2b-2b×a-2b×2b| =|0+6a×b-2b×a-0| =|6a×b+2a×b| =|8a×b| =8×2×3sin2π/3 =48*√3/2 =24√3
ab=2×3×(-1/2)=-3 (3a-2b)(a+2b)=3a^2_4b^2+4ab=12_36-12=-36
向量a和b的夹角为120度,则:a*b=|a|*|b|*cos120,b=3*2*cos2π/3=-3, 而 a^2=|a|^2=4, b^2=|b|^2=9。所以 |(3a-2b)*(a+2b)|=|3a^2+4ab-2b^2|=|3*4+4*4-2*9|=10