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高一数学等比数列前n项和已知数列

已知数列an的前n项和Sn=n^2，设bn=an/(3^n) 数列bn的前n项和为T，求证Tn=1-（n+1）/（3^n） 已知数列an的前n项和Sn=n^2，所以：S1=a1=1 且，an=Sn-S=n^2-(n-1)^2=2n-1 上式对于n=1的时候也满足 所以，数列an=2n-1 那么，数列bn=(2n-1)/(3^n) 用数学归纳法证明： 当n=1时，T1=1-(n+1)/(3^n)=1-(1+1)/3=1-(2/3)=1/3 而，b1=(2*1-1)/3=1/3 所以，T1=b1成立 假设当n=k时，Tk=1-(k+1)/(3^k) 那么，当n=k+1时： T=Tk+b=[1-...全部

  已知数列an的前n项和Sn=n^2，设bn=an/(3^n) 数列bn的前n项和为T，求证Tn=1-（n+1）/（3^n） 已知数列an的前n项和Sn=n^2，所以：S1=a1=1 且，an=Sn-S=n^2-(n-1)^2=2n-1 上式对于n=1的时候也满足 所以，数列an=2n-1 那么，数列bn=(2n-1)/(3^n) 用数学归纳法证明： 当n=1时，T1=1-(n+1)/(3^n)=1-(1+1)/3=1-(2/3)=1/3 而，b1=(2*1-1)/3=1/3 所以，T1=b1成立 假设当n=k时，Tk=1-(k+1)/(3^k) 那么，当n=k+1时： T=Tk+b=[1-(k+1)/(3^k)]+[2(k+1)-1]/(3^) =1-(3k+3)/(3^)+(2k+1)/(3^) =1-[(3k+3)-(2k+1)]/(3^) =1-[(k+2)/(3^)] =1-[(k+1)+1]/3^ 所以，当n=k+1时等式也满足 综上：原等式Tn=1-(n+1)/(3^n)是成立的。
   或者，可以直接求出Tn 因为：bn=(2n-1)/3^n 所以： Tn=b1+b2+b3+b4+……+b+b+bn =(1/3)+(3/9)+(5/27)+(7/81)+……+[(2n-5)/3^]+[(2n-3)/3^]+[(2n-1)/3^n]…………………………………（1） 将上式等式两边同乘以3，就有： 3Tn=1+1+(5/9)+(7/27)+……+[(2n-5)/3^]+[(2n-3)/3^]+[(2n-1)/3^]…………………………………（2） (2)-(1)就有： 2Tn=(5/3)+(2/9)+(2/27)+……+(2/3^)+(2/3^)-[(2n-1)/3^n] =1+[(2/3)+(2/9)+(2/27)+……+(2/3^)+(2/3^)]-[(2n-1)/3^n] 上式中间是一个等比数列 后略。
  收起