几何三大不能问题几何三大问题即三
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大约公元前6世纪到4世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。
1。三等分角问题：将任一个给定的角三等分。
2。立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。
3。化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。
这就是著名的古代几何作图三大难题。
解析几何诞生之后，人们知道直线和圆，分别是一次方程和二次方程的轨迹。而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题，从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题，最后的解是可以从方程的系数（已知量）经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得。 因此，一个...全部
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大约公元前6世纪到4世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。
1。三等分角问题：将任一个给定的角三等分。
2。立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。
3。化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。
这就是著名的古代几何作图三大难题。
解析几何诞生之后，人们知道直线和圆，分别是一次方程和二次方程的轨迹。而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题，从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题，最后的解是可以从方程的系数（已知量）经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得。
因此，一个几何量能否用直尺圆规作出的问题，等价于它能否由已知量经过加、减、乘、除、开方运算求得。
从而得出结论：尺规作图法所能作出的线段或者点，只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方（指正数开平方，并且取正值）所能作出的线段或者点。
1837年，23岁的万芝尔以他的睿智和毅力实现了自己的梦想，证明了立方倍积与三等分任意角不可能用尺规作图法解决，宣布了2000多年来，人类征服几何三大难题取得了重大胜利。
他的证明方法是这样的：
假设已知立方体的棱长为a，所求立方体的棱长为x，按立方倍积的要求应有x3=2a3的关系。
所以立方倍积实际是求作满足方程x3－2a3＝0的线
段X，但些方程无有理根，若令a=1,则要作长度为2的立方根的线段，但2的立方根超出了有理数加、减、乘、除、开方的运算范围，超出了尺规作图准则中所说的数量范围，所以它是不可能解的问题。
用类似地想法，他证明了三等分角也是不可能解的问题。实际上万芝尔还证明了一个被称为高斯——万芝尔定理：如果边数N可以写成如下形式N＝2t·P1·P2……Pn，其中P1、P2、…Pn都是各不相同的形如22k＋1的素数，则可用尺规等分圆周N份，且只有当N可以表成这种形式时，才可用尺规等分圆周N份。
根据这一定理，任意角的三等分就不可能了。
1882年，德国数学家林德曼借助于e^iπ=-1证明了π的超越性，从而解决了化圆为方的问题。假设圆的半径为r，正方形的边长为x，按化圆为方数代数方程的根，更不能用加减乘除开平方所表示，因而不可能用尺规法作图。
从此，古典几何的三大难题都有了答案。
回答：2009-05-14 18:44
。收起
