已知线段PQ过三角形OAB的重心G,且P,Q分别在OA,OB上,设向量OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb,求证1/m+1/n=3 写出证明过程, 谢谢
青***
2006-09-05
伊***
2006-07-27
解:连OG并延长,交AB于K点。因G为重心,则AK=KB。 向量OK=(a+b)/2 向量OG=2向量OK/3=(a+b))/3 向量PG=向量OG-向量OP=(1/3-m)a+b/3 向量PQ=向量OQ-向量OP=nb-ma ∵向量PG∥向量PQ(共线) ∴(1/3-m)a+b/3=λ(nb-ma) ∴(1/3-m)a=-λma b/3=λnb λ=1/3n=(m-1/3)/m 1/m+1/n=1/3 (2) ∵n=m/(3m-1) ∴mn=m^/(3m-1) S=(1/2)×OA×OB×cos∠AOB T=(1/2)×mOA×nOB×cos∠AOB ∴Y=T/S=m...全部
解:连OG并延长,交AB于K点。因G为重心,则AK=KB。 向量OK=(a+b)/2 向量OG=2向量OK/3=(a+b))/3 向量PG=向量OG-向量OP=(1/3-m)a+b/3 向量PQ=向量OQ-向量OP=nb-ma ∵向量PG∥向量PQ(共线) ∴(1/3-m)a+b/3=λ(nb-ma) ∴(1/3-m)a=-λma b/3=λnb λ=1/3n=(m-1/3)/m 1/m+1/n=1/3 (2) ∵n=m/(3m-1) ∴mn=m^/(3m-1) S=(1/2)×OA×OB×cos∠AOB T=(1/2)×mOA×nOB×cos∠AOB ∴Y=T/S=mn=m^/(3m-1)=1/(-1/m^+3/m) 当1/m=3/2时: (-1/m^+3/m) 最大值为9/4 ∴Y=T/S≥4/9 T ≥4S/9 ∵1/2≤m≤1 ∴Y=T/S≤1/2 T≤S/2 。收起
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