在三角形ABC中,设向量AB为c,向量BC为a,向量CA为b 证明:三角形ABC为正三角形的充要条件是a.b=b.c=c.a
充分性:因为 a。b=|a||b|cos(180-C)
b。c=|b||c|cos(180-A)
c。a=|c||a|cos(180-B)
a。
b=b。c=c。a
所以 |a|=|b|=|c| A=B=C
三角形ABC为正三角形。
必要性:因为 三角形ABC为正三角形。
所以 |a|=|b|=|c| A=B=C
a。b=b。c=c。a。
解:在三角形ABC中设三边BC,CA,AB的中点分别为D,E,F,连接AD,BE,CF。
向量AD,BE,CF分别等于向量(1/2)*(c-b),(1/2)*(a-c),(1/2)*(b-a)
充分性:由a。
b=a。c得,a。(b-c)=0,即AD与BC垂直,AD既是三角形ABC的
边BC的高线,也是中线.所以AB=AC,同理可证BA=BC,三角形ABC是
正三角形
必要性:由三角形ABC为正三角形得,AD与BC垂直,所以a。
(b-c)=0,即
a。b=a。c。同理可证。b。c=c。a。即a。b=b。c=c。a
证毕
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解:在三角形ABC中设三边BC,CA,AB的中点分别为D,E,F,连接AD,BE,CF。
向量AD,BE,CF分别等于向量(1/2)*(c-b),(1/2)*(a-c),(1/2)*(b-a)
充分性:由a。
b=a。c得,a。(b-c)=0,即AD与BC垂直,AD既是三角形ABC的
边BC的高线,也是中线.所以AB=AC,同理可证BA=BC,三角形ABC是
正三角形
必要性:由三角形ABC为正三角形得,AD与BC垂直,所以a。
(b-c)=0,即
a。b=a。c。同理可证。b。c=c。a。即a。b=b。c=c。a
证毕。