学好微积分的技巧

学好微积分的技巧

定理1 设具有原函数,可导,则有换元公式 。 此公式称为第一类换元公式(凑微分法) 说明:使用此公式的关键在于将 化为。 观察重点不同,所得结论不同。 例1 求。 解 被积函数中,是一个复合函数:,常数因子恰好是中间变量的导数。 因此,作变换,便有 ==, 再以代人,即得 。 例2 求。 解 被积函数。这里缺少这样一个因子,但由于是是常数,故可改变系数凑出这个因子: , 从而令,便有 = =。 一般地,对于积分,总可以变换,把它化为 == 例3 求。 解 被积函数中的一个因子为;剩下的因子恰好是中间变量的导数,于是有 =。 例4 求。 解 设,则,即,因此, = =。 例5 求。 解...全部

  定理1 设具有原函数,可导,则有换元公式 。 此公式称为第一类换元公式(凑微分法) 说明:使用此公式的关键在于将 化为。 观察重点不同,所得结论不同。 例1 求。 解 被积函数中,是一个复合函数:,常数因子恰好是中间变量的导数。
  因此,作变换,便有 ==, 再以代人,即得 。 例2 求。 解 被积函数。这里缺少这样一个因子,但由于是是常数,故可改变系数凑出这个因子: , 从而令,便有 = =。 一般地,对于积分,总可以变换,把它化为 == 例3 求。
   解 被积函数中的一个因子为;剩下的因子恰好是中间变量的导数,于是有 =。 例4 求。 解 设,则,即,因此, = =。 例5 求。 解 =。 因为,所以设,那么,即,因此 ==- =。
   类似地可得。 在对变量代换比较熟悉以后,就不一定要写出中间变量。 例6 求。 解 =。 在上例中,我们实际上已经用了变量代换,并在求出积分之后,代回了原积分变量,只是没有把这些步骤写出来而已。
   例7 求。 解 =。 凑微分运用时的难点在于题中哪一部分凑成,这需要解题经验,如果记熟下列一些微分公式,解题中则会给我们一些启示: ; 例8 求。 解 由于 , 所以 = = = =。
   求。 解 ==。 求。 解 由于,因此, =。 下面再举一些积分的例子,它们的被积函数中含有三角函数,在计算这种积分的过程中,往往要用到一些三角恒等式。 求。 解 = =。
   求。 解 == = =。 求。 解 = =。 类似地可得 。 求。 解 = = 因为 , 所以上述不定积分又可表为: =。 求。 解 = =。 。 解 = = =。
   求。 解 利用三角学中的积化和差公式 得 , 于是 =。 2,第二类换元法 定理2 设是单调的,可导的函数,并且。又设具有原函数,则有换元公式 =(第二类积分换元公式) 其中是的反函数。
   证 设的原函数为,记,利用复合函数及反函数的求导法则,得到 , 即是的原函数。所以有 = 这就证明了公式。 下面举例说明换元公式的应用。 解 求这个积分的困难在于有根式,但我们可以利用三角公式 来化去根式。
   设,那么=,,于是根式化成了三角式,所求积分化为 。 利用例14的结果得 由于,所以 , , 于是所求积分为 。 求 解 和上例类似,可以利用三角公式 来化去根式。
   设,那末,,于是 利用例17的结果得 为了要把及换成的函数,可以根据作辅助三角形(图4-3),便有 且,因此, , 其中。 求 解 和以上两例类似,可以利用公式 来化去根式。
  注意到被积函数的定义域是和两个区间,我们在两 个区间内分别求不定积分 当时,设,那末 , 于是 为了把及换成的函数,我们根据作辅助三角形(图4—4),得到 因此, 其中。
   当时,令,那么。由上段结果,有 =, 其中。 把在及内的结果合起来,可写作 。 从上面的三个例子可以看出:如果被积函数含有,可以作代换化去根式;如果被积函数含有,可以作代换化去根式;如果被积函数含有,可以作代换化去根式。
  但具体解题时要分析被积函数的具体情况,选取尽可能简捷的代换,不要拘泥于上述的变量代换(如例4,例8)。 下面我们通过例子来介绍一种也很有用的代换——倒代换,利用它常可消去在被积函数的分母中的变量因子。
   求 解 设 那末,于是 =, 当时,有 = = 当时,有相同的结果。 基本积分表(2): ⒃ ⒄ , ⒅ , ⒆ , ⒇ , (21) , (22) , (23) , (24) 。
   求。 解 =, 利用公式⒇,便得 =。 求。 解 =, 利用公式(23),便得 =。 求。 解 =, 利用公式(22),便得 =。 二,分部积分法 问题: 解决思路: 利用两个函数乘积的求导法则。
   设函数及具有连续导数。那么,两个函数乘积的导数公式为 , 移项,得 。 对这个等式两边求不定积分,得 。 (1) 公式(1)称为分部积分公式。如果求有困难,而求比较容易时,分部积分公式就可以发挥作用了。
   为简便起见,也可把公式(1)写成下面的形式 。 (2) 现在通过例子说明如何运用这个重要公式。 求 解 这个积分用换元积分法不易求得结果。现在试用分部积分法来求它。但是怎样选取和呢 如果设,那么,代人分部积分公式(2),得 =, 而容易积出,所以 =。
   求这个积分时,如果设,那么 于是 = 上式右端的积分比原积分更不容易求出。 由此可见,如果和选取不当,就求不出结果,所以应用分部积分法时,恰当选取和是一个关键。选取和一般要考虑下面两点: (1) 要容易求得; (2) 要比容易积出。
   求。 解 设,那末,于是 =。 求。 解 设,那末,于是 =。 这里比容易积出,因为被积函数中的幂次前者比后者降低了一次。由例26可知,对再使用一次分部积分法就可以了。于是 == =。
   总结:如果被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就可以考虑用分部积分法,并设幂函数为。这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次。这里假定幂指数是正整数。 求。
   解 设,那末,利用分部积分公式得 =。 求。 解 设,那末,于是 = = = =。 求。 解 设,那末,于是 = = = =。 总结:如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积,就可以考虑用分部积分法,并设对数函数或反三角函数为。
   下面几个例子中所用的方法也是比较典型的。 求。 解 设,那末,于是 =。 等式右端的积分与等式左端的积分是同一类型的。对右端的积分再用一次分部积分法:设,那末,于是 =。 由于上式右端的第三项就是所求的积分,把它移到等号左端去,再两端同除以2,便得 =。
   因上式右端已不包含积分项,所以必须加上任意常数C。 求。 解 设,那末,于是 = = = =。 由于上式右端的第三项就是所求的积分,把它移到等号左端去,再两端各除以2,便得 = 在分部积分法运用比较熟练以后,就不必再写出哪一部分选作u,哪一部分 选作dv。
  只要把被积表达式凑成的形式,便可使用分部积分公式。 求 解 令,则。于是 = 利用例2的结果,并用代回,便得所求积分: ==。 三,简单有理函数的积分 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有如下形式的函数: 其中m和n都是非负整数;及都是实数,并 且。
   假定在分子多顷式与分母多项式之间是没有公因式的。 (1)当有理函数(1)的分子多项式的次数n小于其分母多项式的次数m,即n < m时, 称这有理函数是真分式; (2)当n≥m时,称这有理函数是假分式。
   利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式和一个真分式之 和的形式。 例如, 。 难点 将有理函数化为部分分式之和。 多项式的积分容易求得,而要计算真分式的积分需要用到真分式的下列性质: 如果多项式在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积, 如 (其中),那么真分式可以分解成如下部分分式 之和: + + + 其中等都是常数。
   有理函数化为部分分式之和的一般规律: 1) 分母中如果有因式,那末分解后有下列k个部分分式之和: 其中A1,A2,…,都是常数。特别地,如果k=1,那么分解后有了; 2) 分母中如果有因式,其中<0,那么分解后 有下列k个部分分式之和: , 其中都是常数。
  特别地,如果k =1,那么分解后有。 真分式化为部分分式之和的待定系数法: 例如,真分式可分解成 , 其中A,B为待定常数,可以用如下的方法求出待定系数。 第一种方法 两端去分母后,得 , (3) 或 。
   因为这是恒等式,等式两端的系数和常数项必须分别相等,于是有 从而解得 A=-5,B=6。 第二种方法 在恒等式(3)中,代人特殊的值,从而求出待定的常数。在(3)式中令,得A=-5; 令=3,得B=6。
   同样得到 。 又如,真分式可分解成 , 再求待定系数A,B,C。两端去分母后,得 。 (4) 在(4)式中,令=0,得A=1,令=1,得B=1。把A,B的值代入(4)式,并令 =2,得1=1+2+2C,即C=一1。
  所以 再如,真分式成 , 两端去分母后,得 , 或 。 (5) 比较(5)式两端的各同次幂的系数及常数项,有 。 解之得 。 于是 。 下面举几个有理真分式的积分例子。
   求。 解 因为 , 所以 = = = 求。 解 由于被积函数的分母是二次质因式,所以应另想别的方法。因为分子是一次式-2,而分母的导数也是一个一次式:,所以可以把分子拆成两部分之和:一部分是分母的导数乘上一个常数因子;另一部分是常数,即 。
   这样,所求的积分可计算如下: = =。 求。 解 因为 , 所以 = = =。 求。 解 因为 所以 = = = =。 总之,有理函数分解为多项式及部分分式之和以后,各个部分都能积出,且原函数都是初等函数。
  此外,由代数学知道,从理论上说,多项式总可以在实数范围内分解成一次因式及二次质因式的乘积,从而把有理函数分解为多项式与部分分式之和。因此,有理函数的原函数都是初等函数。 。收起