数学Rt△AOB中,∠OAB=л
Rt△AOB中,∠OAB=л/6,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,动点D在斜边AB上。(1)求证平面COD⊥平面AOB
已知Rt△AOB中,AB为斜边
所以,∠AOB=90°
即,AO⊥OB
而Rt△AOC是Rt△AOB绕AO旋转所得
所以,AO⊥OC
又CO⊥BO
所以,CO⊥面AOB
而CO包含于面COD
所以,面COD⊥面AOB
(2)当D为AB中点时,求异面直线AO与CD所成角大小。
如图,过点D作OB的垂线,垂足为E,连接CE
因为AO⊥OB,AO⊥OC
所以,AO⊥面BOC
因为AO⊥OB,DE⊥OB
所...全部
Rt△AOB中,∠OAB=л/6,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,动点D在斜边AB上。(1)求证平面COD⊥平面AOB
已知Rt△AOB中,AB为斜边
所以,∠AOB=90°
即,AO⊥OB
而Rt△AOC是Rt△AOB绕AO旋转所得
所以,AO⊥OC
又CO⊥BO
所以,CO⊥面AOB
而CO包含于面COD
所以,面COD⊥面AOB
(2)当D为AB中点时,求异面直线AO与CD所成角大小。
如图,过点D作OB的垂线,垂足为E,连接CE
因为AO⊥OB,AO⊥OC
所以,AO⊥面BOC
因为AO⊥OB,DE⊥OB
所以,DE//AO
所以,DE⊥面BOC
则,DE⊥EC
即,△DEC为直角三角形
又,BO⊥AO,CO⊥AO
所以,∠BOC就是二面角B-AO-C的平面角
则,∠BOC=90°
即,△BOC为直角三角形
在Rt△AOB中,AB=4,∠OAB=30°
所以,OB=2,AO=2√3
而点D为AB中点,DE//AO
所以,DE为△AOB的中位线
所以,OE=OB/2=1,DE=AO/2=√3
在Rt△COE中由勾股定理得到:CE^2=OC^2+OE^2=2^2+1^2=5
所以,CE=√5
所以,在Rt△DEC中,tan∠EDC=CE/DE=(√5)/(√3)=(√15)/3
则,∠EDC=arctan(√15/3)
因为DE//AO
所以,∠EDC就是异面直线AO、CD所成的角
即,异面直线AO、CD所成的角为arctan(√15/3)
(3)求CD与平面AOB所成角最大值。
过点C作面AOB的垂线
因为CO⊥AO,CO⊥BO
所以,CO⊥面AOB
则点C在面AOB内的射影就是点O
那么,∠CDO就是CD与面AOB所成的角
连接OD
设AD=x
那么,在△OAD中由余弦定理得到:
OD^2=AO^2+AD^2-2AO*AD*cos∠OAD
=(2√3)^2+x^2-2*2√3*x*(√3/2)
=12+x^2-6x
所以,OD=√(x^2-6x+12)
因为CO⊥面AOB
所以,CO⊥OD
即,△COD为直角三角形
所以,tan∠CDO=CO/OD=2/√(x^2-6x+12)=2/√[(x-3)^2+3]
那么,x=3时,tan∠CDO有最大值=2/√3
所以,∠CDO的最大值为arctan(2√3/3)
即,CD与面AOB所成角的最大值为arctan(2√3/3)。
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