不等式问题不等式问题设a,b,c
不等式问题
设a,b,c为正数，且abc=1，求证
1/(1+b+c)+1/(1+c+a)+1/(1+a+b)≦1
证明 设a=x^3，b=y^3，c=z^3，则 xyz=1，那么
1/(1+b+c)=xyz/(xyz+y^3+z^3)≦xyz/(xyz+y^2*z+y*z^2)=x/(x+y+z)
1/(1+b+c)≦x/(x+y+z)
同理可得:
1/(1+c+a)≦y/(x+y+z) ，
1/(1+a+b)≦z/(x+y+z) 。
因此有
1/(1+b+c)+1/(1+c+a)+1/(1+a+b)≦1。证毕。
一道比较困难的相关的国外竞赛题是:设a,b,c为正数，且abc=1，求...全部
不等式问题
设a,b,c为正数，且abc=1，求证
1/(1+b+c)+1/(1+c+a)+1/(1+a+b)≦1
证明 设a=x^3，b=y^3，c=z^3，则 xyz=1，那么
1/(1+b+c)=xyz/(xyz+y^3+z^3)≦xyz/(xyz+y^2*z+y*z^2)=x/(x+y+z)
1/(1+b+c)≦x/(x+y+z)
同理可得:
1/(1+c+a)≦y/(x+y+z) ，
1/(1+a+b)≦z/(x+y+z) 。
因此有
1/(1+b+c)+1/(1+c+a)+1/(1+a+b)≦1。证毕。
一道比较困难的相关的国外竞赛题是:设a,b,c为正数，且abc=1，求证: 1/(1+b+c)+1/(1+c+a)+1/(1+a+b)≦1/(2+a)+1/(2+b) +1/(2+c)。
先作代换 a=x^2/yz, b=y^2/zx, c=z^2/xy，等价于
Σxyz/(xyz+y^3+z^3)≦Σyz/(2yz+x^2)
x/Σx-xyz/(xyz+y^3+z^3)=x(y+z)*(y-z)^2/[(xyz+y^3+z^3)Σx]
两边取和为
P=1-Σxyz/(xyz+y^3+z^3)=Σx(y+z)*(y-z)^2/[(xyz+y^3+z^3)Σx]
x(y+z)/Σyz-[xy/(2xy+z^2)-xz/(2zx+y^2)]
=[x(y^2+z^2+3yz)-yz(y+z)]*(y-z)^2/[Σyz(2xy+z^2)(2zx+y^2)]
两边取和为
Q=1-Σ[xy/(2xy+z^2)-xz/(2zx+y^2)]=Σ[x(y^2+z^2+3yz)-yz(y+z)]*(y-z)^2/[Σyz(2xy+z^2)(2zx+y^2)]
只需证明Q≥P即可。
。收起
