一道初三代数题

一道初三代数题已知K为整数，如开

已知K为整数，如开口向上的抛物线Y=(K+1)X^2+2(K-1)X+K-1与X轴相交于A、B两点（A点在B点左边）。（1） 求此抛物线的函数解析式;（2） 求证此抛物线上一定存在一点P，使得AP⊥BP; (3)在此抛物线上是否存在一个异于P的点Q，也满足AQ⊥BQ？如果存在，求出该点的坐标，如果不存在，请说明理由。 (1)。因为抛物线的开口向上且与X轴有两个交点 　　所以△＝4(k-1)^2-4(k+1)(k-1)＞0 　　　　k+1＞0 　　解得：-1＜k＜1 ,所以k=0 所以抛物线为：y=x^2-2x-1 -----------------------------------...全部

  已知K为整数，如开口向上的抛物线Y=(K+1)X^2+2(K-1)X+K-1与X轴相交于A、B两点（A点在B点左边）。（1） 求此抛物线的函数解析式;（2） 求证此抛物线上一定存在一点P，使得AP⊥BP; (3)在此抛物线上是否存在一个异于P的点Q，也满足AQ⊥BQ？如果存在，求出该点的坐标，如果不存在，请说明理由。
   (1)。因为抛物线的开口向上且与X轴有两个交点 　　所以△＝4(k-1)^2-4(k+1)(k-1)＞0 　　　　k+1＞0 　　解得：-1＜k＜1 ,所以k=0 所以抛物线为：y=x^2-2x-1 ------------------------------------------------------------------------ (2)。
  因为y= (x-1)^2 -2 ,所以抛物线的顶点为：(1,-2) 因为AB^2=(x1-x2)^2 = (x1+x2)^2-4x1*x2 = 4-4*(-1)=8 所以AB＝2√2　，所以以AB为直径的圆的半径为：R=√2　，圆心为(1,0) 因为顶点（1,-2)到圆心的距离d=2 ＞√2 所以顶点在圆外，所以抛物线与圆有两个交点 　　其中一个交点即为P点，它使AP⊥BP (3)。
  由上一问可知，存在Q点使AQ⊥BQ 因为圆的方程为(x-1)^2 + y^2 = 2 所以把y =(x-1)^2 -2 代入圆的方程中得：y^2 +y =0 所以y1=0 (与x轴的交点舍去）,y2=-1 把y=-1分别代入y =(x-1)^2 -2 中得x=0或x=2 所以P、Q点的坐标为：(0,-1)、(2,-1) ------------------------------------------------------------------------- (2)。
  设抛物线与Y轴的交点为：M(0,-1) 因为OA*OB=|x1*x2|=1 ,OM^2 = 1 所以OM^2 = OA*OB ,所以△OAM∽△OMB 所以∠OAM＋∠OBM＝90°　，所以AM⊥BM 所以M点就是所求的P点 (3)。
  因为Q与P关于x=1对称，所以Q为（2,-1) 。收起