设两定点F1、F2距离为2a:|F1F2|=2a,一动点到这两定点的距离的积为a^2,求这动点的轨迹方程。
取F1F2中点O为极点,OF2所在射线为极轴,
P(ρ,θ)为轨迹上任一点,则
丨F1P|^2·|F2P1=a^4。
依余弦定理得,
|F1P|^2=ρ^2+a^2-2aρcos(π-θ)
=ρ^2+a^2+2aρcosθ,
|F2P|^2=ρ^2+a^2-2aρcosθ。
∴|F1P|^2·|F2P|^2=(ρ^2+a^2)^2-4a^2ρ^2(cosθ)^2=a^4
→ρ^2(ρ^2-2a^2cos2θ)=0,
∴ρ^2=0,ρ^2-2a^2cos2θ。
ρ=0表示极点(0,π/4),包含于第二个方程,
故所求方程为:ρ^2=2a^2cos2θ。
化为直角坐标系方程即:(x^2+y^2)^2=2a(x^2-y^2)。
以线段F1F2的中点为原点,以从O指向F2为x轴正向,建立相应y轴,则F1(-a,0),F2(a,0),
满足|PF1|*|PF2|=a^2的动点P(x,y)轨迹方程就是[(x+a)^2+y^2}[(x-a)^2+y^2]=a^4,
可化简为(x^2+y^2)^2=2a(x^2-y^2)。
【注一】在极坐标系中方程可更简洁:ρ^2=2a^2cos2θ,这就是有名的伯努利双纽线。
【注二】满足|PF1|*|PF2|=b^2的动点P(x,y)轨迹[(x+a)^2+y^2}[(x-a)^2+y^2]=b^4称“卡西尼卵形线”。
b=a时的“伯努利双纽线”是“卡西尼卵形线”的一种特殊情况。
b>a>0形似单细胞卵,a>b>0形似双细胞卵,b=a是细胞分裂的临界状态。
【注三】再加上
①到两定点距离之和为定值的动点轨迹为椭圆;
②到两定点距离之差为非零定值的动点轨迹为双曲线,到两定点距离之差为零的动点轨迹为直线;
③到两定点距离之商为非1定值的动点轨迹是阿波罗尼圆,到两定点距离之商为1的动点轨迹为直线。
那么到两定点距离之和、差、积、商为定值的动点轨迹都清楚了。
以F1F2为x轴,F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则F1(-a,0),F2(a,0), 设动点P(x,y),由|PF1|*|PF2|=a^,得 [(x+a)^+y^}[(x-a)^+y^]=a^4,为所求。