动点到定点和定直线的距离之和为;求动点的轨迹方程;过点做斜率为的直线交点的轨迹于...
动点到定点和定直线的距离之和为;求动点的轨迹方程;过点做斜率为的直线交点的轨迹于两点,求的最大值.
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由题设条件动点到定直线与到定点的距离之和为,由此等量关系建立方程求得动点的轨迹方程;设直线的方程为,易求得曲线与曲线的交点为和,从而可得到,当,两点都在曲线上时,;当点在曲线上,点在曲线上时,。
进而分类讨论即可。 解:设,由题意有当时,有,整理得;当时,有,整理得故点的轨迹方程为设直线的方程为,易求得曲线与曲线的交点为和,从而可得到,当,两点都在曲线上时,;当点在曲线上,点在曲线上时,。
当,两点都在曲线上时,设,由,得,故于是,,所以,当且仅当时取等号。当点在曲线上,点在曲线上时,设,,当时,由,解得由,解得因为曲线的准线为,焦点为,曲线的准线为,焦点为,所以,,所以故,当且仅当时取等号。
当时,易知。综上知,的最大值为。 本题以轨迹方程为载体,考查求轨迹方程,同时考查直线与曲线的位置关系。
解题的关键是理解题意,找出等量关系,从而建立起关于动点的坐标的方程,这是求轨迹方程时常用方法,也是一个常规方法,应总结此方法的步骤规律。
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