若直角三角形的周长为(√2)+(1),则它的最大面积是______
若直角三角形的周长为(√2)+(1),则它的最大面积是______
设直角三角形的两个直角边为a，b，斜边为c，则：
a^2+b^2=c^2……………………………………………………（1）
且，a+b+c=√2+1………………………………………………（2）
===> a+b=(√2+1)-c
===> (a+b)^2=[(√2+1)-c]^2
===> a^2+b^2+2ab=(√2+1)^2-2(√2+1)c+c^2
===> 2ab=(3+2√2)-2(√2+1)c
===> (1/2)ab=[(3+2√2)/4]-[(√2+1)c/2]
即，S=[(3+2√2)/4]-[(√2+1)c...全部
若直角三角形的周长为(√2)+(1),则它的最大面积是______
设直角三角形的两个直角边为a，b，斜边为c，则：
a^2+b^2=c^2……………………………………………………（1）
且，a+b+c=√2+1………………………………………………（2）
===> a+b=(√2+1)-c
===> (a+b)^2=[(√2+1)-c]^2
===> a^2+b^2+2ab=(√2+1)^2-2(√2+1)c+c^2
===> 2ab=(3+2√2)-2(√2+1)c
===> (1/2)ab=[(3+2√2)/4]-[(√2+1)c/2]
即，S=[(3+2√2)/4]-[(√2+1)c/2]
可见，面积S是关于斜边c的减函数，即c最小时S最大
由(1)有：c^2=a^2+b^2≥2ab ===> c≥√(2ab)当且仅当a=b时取等号
此时，c=√2a（=√2b）
代入(2)就有：a+b+c=a+a+√2a=(2+√2)a=√2+1
===> a=(√2+1)/(2+√2)=[(√2+1)(2-√2)]/2=(√2)/2
所以，c=√2a=1
而，当a=b时，直角三角形为等腰直角三角形
所以，其面积最大值为S=(1/2)ab=(1/2)a^2=(1/2)*(√2/2)^2=1/4。
收起
