高二数学题

若直角三角形的周长为(√2)+(1),则它的最大面积是______

若直角三角形的周长为(√2)+(1),则它的最大面积是______ 设直角三角形的两个直角边为a，b，斜边为c，则： a^2+b^2=c^2……………………………………………………（1） 且，a+b+c=√2+1………………………………………………（2） ===> a+b=(√2+1)-c ===> (a+b)^2=[(√2+1)-c]^2 ===> a^2+b^2+2ab=(√2+1)^2-2(√2+1)c+c^2 ===> 2ab=(3+2√2)-2(√2+1)c ===> (1/2)ab=[(3+2√2)/4]-[(√2+1)c/2] 即，S=[(3+2√2)/4]-[(√2+1)c...全部

  若直角三角形的周长为(√2)+(1),则它的最大面积是______ 设直角三角形的两个直角边为a，b，斜边为c，则： a^2+b^2=c^2……………………………………………………（1） 且，a+b+c=√2+1………………………………………………（2） ===> a+b=(√2+1)-c ===> (a+b)^2=[(√2+1)-c]^2 ===> a^2+b^2+2ab=(√2+1)^2-2(√2+1)c+c^2 ===> 2ab=(3+2√2)-2(√2+1)c ===> (1/2)ab=[(3+2√2)/4]-[(√2+1)c/2] 即，S=[(3+2√2)/4]-[(√2+1)c/2] 可见，面积S是关于斜边c的减函数，即c最小时S最大 由(1)有：c^2=a^2+b^2≥2ab ===> c≥√(2ab)当且仅当a=b时取等号 此时，c=√2a（=√2b） 代入(2)就有：a+b+c=a+a+√2a=(2+√2)a=√2+1 ===> a=(√2+1)/(2+√2)=[(√2+1)(2-√2)]/2=(√2)/2 所以，c=√2a=1 而，当a=b时，直角三角形为等腰直角三角形 所以，其面积最大值为S=(1/2)ab=(1/2)a^2=(1/2)*(√2/2)^2=1/4。
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