求(x+y)/(x^2-xy+y^2)=3/7的所有整数解.

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2011-06-25

0 0

据题意可设 ①x+y=3n，②x^2-xy+y^2=7n （n为非零整数）； ①^2-② 得 xy=3n^2-(7/3)n，这里可断定 (7/3)n 是整数，故可知 n=3m （m为非零整数），即 x+y=9m，xy=27m^2-7m， x，y 是方程 Z^2-9mZ+27m^2-7m=0 的根， △≥0 ===> -27m^2+28m≥0 ===> 0≤m≤28/27，因为 m≠0，所以只能有 m=1，即 x+y=9，xy=20，【所以】仅有两组整数解①x=4，y=5；②x=5，y=4。
。

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柳***

2011-06-25

52 0

  解: 设x+y=p,x-y=q,代入原方程整理,得 28p=3(p^2+3q^2)。可见,p>0且p为3的倍数。设p=3k(k∈N+),则 28k=3(3k^2+q^2), 于是k>0且k为3的倍数。
   设k=3m(m∈N+),则 28m=27m^2+q^2。再由28m-27m^2=q^2≥0知,m=1。此时,k=3,p=9,q=±1,故有: {x+y=9, {x-y=±1。
   解此方程组得原方的解: (x,y)=(5,4),(4,5)。

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1***

2011-06-25

53 0

    可以用matlab的话可以用数值解法。首先，把原来的方程化成一个二元函数f(x,y)=3*x^2-3*x*y+3*y^2-7*x-7*y，然后用matlab可以画出这个二元函数等于0的时候的图像。
  然后观察图像和栅格的交点，即可得到所有整数解。 matlab程序如下： >>ezplot('3*x^2-3*x*y+3*y^2-7*x-7*y',[-50,50,-50,50]); >> grid; >> axis([-2,6,-2,6]); %%调整坐标轴范围可以看到，画出来的是一个椭圆，它所穿过的整数点(x,y)为(0,0),(4,5)和(5,4)。
     不知道我讲清楚了吗。

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l***

2011-06-25

51 0

X=5,Y=4或 X=4,Y=5 ================= (x+y)/(x^2-xy+y^2)=3/7 7(x^2-xy+y^2)-3(x+y)=0 化为关于x的方程： 3X^2 -（7+3Y）X +(3Y^2-7Y)=0 判别式△=（7+3Y）^2-4*3*(3Y^2-7Y) =49+126 Y-27 Y^2 当y>5时△<0，无解(Y正整数，不考虑负值） y≤5时：仅当Y=4或Y=5时△为完全平方数 Y=4→ △=121→ X=5 Y=5→ △=4 → X=4 只有两组解。
。

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j***

2011-06-25

53 0

将(x+y)/(x^2-xy+y^2)=3/7整理得：3x²-3xy+3y²-7x-7y=0 配方：2(x-7/4)²+(x-3y/2)²+3/4(y-14/3)²=539/24≈22 所以：1≤2|x-7/4|、|x-3y/2|、|3/4(y-14/3|≤4 1≤x≤5，1≤y≤9，|2x-3y|≤8 符合条件的数组有(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5，6), 代入检验，得：x=4,y=5或x=5，y=4。
。

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某***

2011-06-25

50 0

因为这个题目涉及x和y的三次方问题要想到以下两个式子： x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) (x+y)^3=x^3+3xy^2+3yx^2+y^3 =x^3+y^3+3xy(x^2+y^2) 根据题意，可设x+y=3k,x^2-xy+y^2=7k(k为非零的数）于是有x^3+y^3=21k^2 又可将x^2-xy+y^2=7k 和 x^2+2xy+y^2=9k^2 两个式子联立为方程组，可以解得 xy=(9k^2-7k)/3, x^2+y^2=(9k^2+14k)/3 将这些结果代入最开始提到的第二个式子里，有 27k^3=21k^2+(9k^2-7k)(9k^2+14k)/3 这个式子可以整理得到81k^2-18k-35=0, 解得k=7/9或k=-5/9 再代回去求解x和y 呀，貌似没有整数解啊~ 不过我觉得这个思路是没错的。
。

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