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与空间中不共面的4个点距离都相等的平面有多少个?

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2011-04-06

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将4个点看成一个四面体的四个顶点, 则问题等价于,求与四面体4个顶点距禺相等的平面个数. 有两类: (1)平面两侧各有两个顶点,共1/2*C(4,2)种; (2)一侧有三个顶点,另,一侧有1个顶点,共C(4,1)种. ∴总共有1/2*C(4,2)+C(4,1)=7(种).

2011-04-06

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  (1) 平面两侧一边三个点,一边一个点。3点确定一个平面,这时,寻找一个平面,这4点到这平面的距离相等。这个平面和3点组成的平面平行,距离是那剩下一点到这3点平面距离的一半。这样的组合,可以找到4组。
  (每个点到另外3点组成平面距离的一半处,画一个平行于那3点的平面)。 (2) 平面每侧有2个点。即2点组成一条线,找一个平面与这两条线平行,且在中间。这样的组合,有3个(即一个点可以和另外3个点分别组成组合)。
   所以1和2两种情况,共有7个解。

2011-04-06

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    与空间中不共面的4个点距离都相等的平面有多少个? C+(1/2)*C=4+3=7 C表示的是4个点中任意取1个点【设为P】,另外3个点就可以确定一个平面,那么过点P作这个平面的垂线,过垂线段的中点作垂线段的垂直平面,那么这个平面到4个点的距离都相等; C表示的是4个点中任意取2个点,每2个点就确定一条直线,这两条直线是异面直线。
    在其中一直线上取一点【异于上述从4点中取的两个点】可以作另一条直线的平行线,那么这两个相交直线就可以确定一个平面,然后作这个平面与另一条直线的平行平面、且保证到两者距离相等。
  

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