求充分必要条件
a,b∈R, 求|a+b|+|a-b|＜4的充分必要条件。
全部回答
充分必要条件|a|<2且|b|<2
设|a|≥|b|,
当a,b同号时,|a+b|=|a|+|b|,|a-b|=|a|-|b|,
|a+b|+|a-b|=|a|+|b|+|a|-|b|=2|a|;
当a,b异号时,|a+b|=|a|-|b|,|a-b|=|a|+|b|,
|a+b|+|a-b|=|a|-|b|+|a|+|b|=2|a|;
当b=0或a,b都为0时,|a+b|+|a-b|=2|a|。
总之,当|a|≥|b|时,|a+b|+|a-b|=2|a|;
同理,当|a|≤|b|时,|a+b|+|a-b|=2|b|
先证充分性:
当|a|<2且|b|<2时,
|a+b|+|a-b|=2|a|(或2|b|)<4成立
再证必要性:
当|a|≥|b|,|a|≥2时,|a+b|+|a-b|=2|a|≥4,
或|b|≥|a|,|b|≥2时,|a+b|+|a-b|=2|b|≥4。
即当|a|<2且|b|<2不成立时,
|a+b|+|a-b|<4不成立
由上可知,充分必要性证明完毕。
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