充分必要条件
M,N是等腰直角三角形ABC斜边AB上两点。
求证:MN^2=AM^2+BN^2的充分必要条件是∠MCN=45°。
先证充分性。
∠MCN=45°时,∠MCN=∠ACM+∠NCB。
作点A关于CM的对称点P,连CP,MP,NP。 显然CP=AC=BC。
∠MCP=∠MCA,可得∠PCN+∠NCB。
△ACM≌△PCM,AM=PM,∠CPM=∠A=45°。
同理,BN=PN,∠CPN=45°。∠MPN=90°,MN^2=PM^2+PN^2,
所以 MN^2=AM^2+BN^2。
再证必要性。
当MN^2=AM^2+BN^2时,在线段MP上取一点N',使∠MCN'=45°。
由充分性可知...全部
M,N是等腰直角三角形ABC斜边AB上两点。
求证:MN^2=AM^2+BN^2的充分必要条件是∠MCN=45°。
先证充分性。
∠MCN=45°时,∠MCN=∠ACM+∠NCB。
作点A关于CM的对称点P,连CP,MP,NP。
显然CP=AC=BC。
∠MCP=∠MCA,可得∠PCN+∠NCB。
△ACM≌△PCM,AM=PM,∠CPM=∠A=45°。
同理,BN=PN,∠CPN=45°。∠MPN=90°,MN^2=PM^2+PN^2,
所以 MN^2=AM^2+BN^2。
再证必要性。
当MN^2=AM^2+BN^2时,在线段MP上取一点N',使∠MCN'=45°。
由充分性可知,MN'^2=AM^2+MN'^2。
MN^2-BN^2=MN'^2-BN'^2
(MN+BN)(MN-BN)=(MN'+BN')(MN'-BN'),MB*(MN-MB)=MB*(MN'-BN')
MN-MB=MN'-BN',MN+BN'=MN'+BN(*)。
显然当且仅当NN'=0时(*)成立。
所以N,N'重合,∠MCN=45°。
。收起
