不等式问题若正实数a,b,c满足
若正实数a,b, c满足abc=1。 求证:
(1+a-1/b)*(1+b-1/c)*(1+c-1/a)==2-2+b+1/a>0, (3)
(2)与(3)矛盾。
(i)当(1+a-1/b),(1+b-1/c),(1+c-1/a)中有且仅有一个非正时,不等式(1)显然成立。
(ii)当(1+a-1/b),(1+b-1/c),(1+c-1/a)全正时,
因为 1>=1^2-(a-1/b)^2=(1+a-1/b)(1-a+1/b)= (1+a-1/b)(b-ab+1)= (1+a-1/b)(1+b-1/c)/b
所以 1>=(1+a-1/b)(1+b-1/c)/b (4)
同理 ...全部
若正实数a,b, c满足abc=1。 求证:
(1+a-1/b)*(1+b-1/c)*(1+c-1/a)==2-2+b+1/a>0, (3)
(2)与(3)矛盾。
(i)当(1+a-1/b),(1+b-1/c),(1+c-1/a)中有且仅有一个非正时,不等式(1)显然成立。
(ii)当(1+a-1/b),(1+b-1/c),(1+c-1/a)全正时,
因为 1>=1^2-(a-1/b)^2=(1+a-1/b)(1-a+1/b)= (1+a-1/b)(b-ab+1)= (1+a-1/b)(1+b-1/c)/b
所以 1>=(1+a-1/b)(1+b-1/c)/b (4)
同理 1>=(1+b-1/c)(1+c-1/a)/c (5)
1>=(1+c-1/a)(1+a-1/b)/a (6)
(4),(5),(6)相乘,得
1>=(1+a-1/b)^2*(1+b-1/c)^2*(1+c-1/a)^2/(abc)= (1+a-1/b)^2*(1+b-1/c)^2*(1+c-1/a)^2,
开方,得
1>=(1+a-1/b)*(1+b-1/c)*(1+c-1/a)
因此,不等式(1)成立．
注：也可利用a^2>=a^2-(1-1/b)^2或1/a^2>=1/a^2-(b-1)^2仿照上面的方法证明。
证明2 先证:(1+a-1/b),(1+b-1/c),(1+c-1/a)中至多只有一个是非正的。若不然,假设
(1+a-1/b),(1+b-1/c)均非正,则(b+1/c-1)=b*(1+a-1/b)=2-2+b+1/a>0,
上面两式矛盾。
(i)当(1+a-1/b),(1+b-1/c),(1+c-1/a)中有且仅有一个非正时,不等式(1)显然成立。
(ii)当(1+a-1/b),(1+b-1/c),(1+c-1/a)全正时,易知(1-a+1/b), (1-b+1/c), (1-c+1/a)也全正,
于是由均值不等式可知
6=(1+a-1/b)+(1+b-1/c)+(1+c-1/a)+(1-a+1/b)+(1-b+1/c)+(1-c+1/a)
>=6[(1+a-1/b)(1+b-1/c)(1+c-1/a) (1-a+1/b) (1-b+1/c)(1-c+1/a)]^(1/6)
所以 (1+a-1/b)(1+b-1/c)(1+c-1/a) (1-a+1/b) (1-b+1/c)(1-c+1/a)=(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) (7)
不等式(7)的证明参见下面注记中提及的《关于一个命题的讨论》,此处略。
注记：不等式(7)即为1983年瑞士数学奥林匹克竞赛题2,这是一个内涵非常深刻的不等式,详细的分析可参见笔者于2007年2月27日在《奥数之家》发的帖子---《关于一个命题的讨论》（ ）。
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