已知ab∈R且a+b=1
方法一：
(a-b)^2≥0
a^2-2ab+b^2≥0
a^2+b^2≥2ab
a^2+b^2+a^2+b^2≥2ab+a^2+b^2
2(a^2+b^2)≥(a+b)^2
a^2+b^2≥(a+b)^2/2……（*）
证明：
(a+2)^2+(b+2)^2
=a^2+4a+4+b^2+4b+4
=a^2+b^2+4(a+b)+4+4
≥(a+b)^2/2+4(a+b)+4+4 (利用*式)
=1/2+4+8 (因为a+b=1)
=25/2
方法二：
由条件a+b=1联想到直线方程，由欲证式左边联想到距离的平方，从而使问题转化为线段上动点与定点的距离的最小值问题。
如下图，a...全部
方法一：
(a-b)^2≥0
a^2-2ab+b^2≥0
a^2+b^2≥2ab
a^2+b^2+a^2+b^2≥2ab+a^2+b^2
2(a^2+b^2)≥(a+b)^2
a^2+b^2≥(a+b)^2/2……（*）
证明：
(a+2)^2+(b+2)^2
=a^2+4a+4+b^2+4b+4
=a^2+b^2+4(a+b)+4+4
≥(a+b)^2/2+4(a+b)+4+4 (利用*式)
=1/2+4+8 (因为a+b=1)
=25/2
方法二：
由条件a+b=1联想到直线方程，由欲证式左边联想到距离的平方，从而使问题转化为线段上动点与定点的距离的最小值问题。
如下图，a+b=1(a>0,b>0)表示直线AB在第一象限内的一段，(a+2)^2+(b+2)^2表示线段AB上一点N（a,b）到点M（-2，-2）的距离的平方，AB的中点C（1/2，1/2）
∵|MN|^2≥|MC|^2=25/2
∴(a+2)2+(b+2)2≥25/2
。
收起
