初中数学竞赛几何难题（圆与三角形五心）

一道较难的初中几何题已知：如图，

已知：如图，在三角形ABC中，角ACB等于90度，角A小于角B，把三角形绕点C顺时针旋转到三角形A'B'C，这时B'点在AB上，AC和A'B'交于点O，设角AOA'等于b，角A等于a (1)求b和a之间的数量关系； 因为△A'CB'是由△ABC绕C旋转而得，所以：△A'CB'≌△ABC 所以，B'C=BC、A'C=AC ∠A'=∠A=a 因为△ABC为直角三角形，∠A=a 所以，∠B=90°-∠A=90°-a 而，B'C=BC，即△CB'B为等腰三角形 所以，∠CB'B=∠B=90°-a 根据三角形的外角等于不相邻两个内角之和，有： ∠CB'B=∠A+∠ACB 所以，∠ACB=∠CB'B-...全部

  已知：如图，在三角形ABC中，角ACB等于90度，角A小于角B，把三角形绕点C顺时针旋转到三角形A'B'C，这时B'点在AB上，AC和A'B'交于点O，设角AOA'等于b，角A等于a (1)求b和a之间的数量关系； 因为△A'CB'是由△ABC绕C旋转而得，所以：△A'CB'≌△ABC 所以，B'C=BC、A'C=AC ∠A'=∠A=a 因为△ABC为直角三角形，∠A=a 所以，∠B=90°-∠A=90°-a 而，B'C=BC，即△CB'B为等腰三角形 所以，∠CB'B=∠B=90°-a 根据三角形的外角等于不相邻两个内角之和，有： ∠CB'B=∠A+∠ACB 所以，∠ACB=∠CB'B-∠A=(90°-a)-a=90°-2a 而，∠A'CB'为直角，所以：∠A'CO=∠A'CB'-∠ACB' =90°-(90°-2a)=2a 所以，∠A'OA=∠A'+∠A'CO=a+2a=3a 即：b=3a (2)根据（1）的结论，求当角A等于几度时，A'B'⊥AC 由1）知道，b=3a 所以，当AB'⊥AC，即b=90°时，有： 3a=90° 所以，∠A=a=30° (3)在（2）的情况下，若三角形ABC的面积等于4，求重叠部分三角形OB'C的面积。
   由1）、2）知道，当∠A=30°时，∠B=60° 而，由1）有△CB'B为等腰三角形，现∠B=60° 所以，△CB'B为等边三角形,∠B'CB=60° 所以，CB'=BB'，且∠ACB'=90°-∠B'CB=30° 所以，∠ACB'=∠A=30° 则，AB'=CB' 所以，AB'=BB' 即，B'为斜边AB的中点 过点C作AB的垂线，垂足为D（图中未作），那么，很容易证明： Rt△AB'0≌Rt△CB'O≌Rt△CB'D≌Rt△CBD 即，Rt△OB'C的面积为Rt△ABC面积的1/4 已知△ABC的面积=4 所以，Rt△OB'C的面积（阴影部分）=1。
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