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如图，已知圆O的直径AB=8,半径OC垂直AB,且OC是圆O1的直径，圆O2分别与圆O内切、与圆O1外切、与AB相切，求圆O2的半径长。
如图（圆O的下半部分省去） 连接O1O2，OO2 设圆O2与O内切于点E，与AB相切于点D，连接O2D 过O2作OC的垂线，垂足为F 很显然，四边形ODO2F为矩形 因为AB为圆O直径=8，且圆O1以AC为直径 所以，圆O半径为4，圆O1半径为2 设圆O2的半径为r，则： O1O2=2+r OF=O2D=r OE=OO2+O2E=4 所以，O1F=OO1-OF=2-r，OO2=OE-O2E=4-r 那么，根据勾股定理就有： O2F^2=O1O2^2-O1F^2=OO2^2-OF^2 即：(r+2)^2-(r-2)^2=(4-r)^2-r^2 ===> (r+2+r-2)(r+2-r+2)=(4-r+r)(4-r-r) ===> 2r*4=4*(4-2r) ===> 8r=16-8r ===> 16r=16 ===> r=1 即，圆O2的半径为1。
如图（圆O的下半部分省去） 连接O1O2，OO2 设圆O2与O内切于点E，与AB相切于点D，连接O2D 过O2作OC的垂线，垂足为F 很显然，四边形ODO2F为矩形 因为AB为圆O直径=8，且圆O1以AC为直径 所以，圆O半径为4，圆O1半径为2 设圆O2的半径为r，则： O1O2=2+r OF=O2D=r OE=OO2+O2E=4 所以，O1F=OO1-OF=2-r，OO2=OE-O2E=4-r 那么，根据勾股定理就有： O2F^2=O1O2^2-O1F^2=OO2^2-OF^2 即：(r+2)^2-(r-2)^2=(4-r)^2-r^2 ===> (r+2+r-2)(r+2-r+2)=(4-r+r)(4-r-r) ===> 2r*4=4*(4-2r) ===> 8r=16-8r ===> 16r=16 ===> r=1 即，圆O2的半径为1。
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