高中函数已知函数
求：（1） 的定义域、值域
（2） 的奇偶性
（3） 的单调性
解：
(1)求f(x)的值域。
因为0＜a^x＜+∞,x∈R
所以f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)＞1-2/(0+1)=-1,
f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)＜1,
因此,f(x)的值域为(-1,1)。
(2)判断f(x)的奇偶性。
因为函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),且
f(-x)=(a^(-x)-1)/(a^(-x)+1)=(1-a^x)/(1+a^x)
=-(a^x-1)/(a^x+1)=-f(x),
所以,f(x)是奇函数。
(3)讨论f(x)的单调性。
(i)当a＞1时
设x1,x2是(0,+∞)内的...全部
解：
(1)求f(x)的值域。
因为0＜a^x＜+∞,x∈R
所以f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)＞1-2/(0+1)=-1,
f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)＜1,
因此,f(x)的值域为(-1,1)。
(2)判断f(x)的奇偶性。
因为函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),且
f(-x)=(a^(-x)-1)/(a^(-x)+1)=(1-a^x)/(1+a^x)
=-(a^x-1)/(a^x+1)=-f(x),
所以,f(x)是奇函数。
(3)讨论f(x)的单调性。
(i)当a＞1时
设x1,x2是(0,+∞)内的任意两点,且x1＜x2,则a^x1＜a^x2,于是
f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1+a^x1)-(1-a^x2)/(1+a^x2)
=[(1-a^x1)(1+a^x2)-(1-a^x2)(1+a^x1)]/[(1+a^x1)(1+a^x2)]
=2(a^x2-a^x1)/[(1+a^x1)(1+a^x2)]＞0,
所以,f(x)在(0,+∞)内单调递减。
由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递减。
因此,当a＞1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递减。
(ii)当0＜a＜1时
设x1,x2是(0,+∞)内的任意两点,且x1
由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递增。
因此,当0＜a＜1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增。
综上所述,当0＜a＜1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,
当a＞1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递减。
。收起
