高中 圆与方程的题3
已知点(x,y)是圆(x+2)^2+y^2=1 上任意一点
1。求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值
根据圆的方程，设x=-2+cosα，y=sinα
所以，点P(-2+cosα,sinα)
那么，它到直线3x+4y+12=0的距离d=|3(-2+cosα)+4sinα+12|/√(3^2+4^2)
=|3cosα+4sinα+6|/5
=|5cos(α+ψ)+6|/5
因为cos(α+ψ)∈[-1,1]
则，5cos(α+ψ)+6的最大值为5+6=11，最小值为-5+6=1
所以，点P到直线距离的最大值11/5，最小值为1/5
2。 求x-2y的最大值和最小值
由前面...全部
已知点(x,y)是圆(x+2)^2+y^2=1 上任意一点
1。求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值
根据圆的方程，设x=-2+cosα，y=sinα
所以，点P(-2+cosα,sinα)
那么，它到直线3x+4y+12=0的距离d=|3(-2+cosα)+4sinα+12|/√(3^2+4^2)
=|3cosα+4sinα+6|/5
=|5cos(α+ψ)+6|/5
因为cos(α+ψ)∈[-1,1]
则，5cos(α+ψ)+6的最大值为5+6=11，最小值为-5+6=1
所以，点P到直线距离的最大值11/5，最小值为1/5
2。
求x-2y的最大值和最小值
由前面知，x-2y=-2+cosα-2sinα=√5sin(α-T)-2
所以，最大值为√5-2，最小值为-√5-2
3。
求(y-2)/(x-1)的最大值和最小值
圆为(x+2)^2+y^2=1，表示的是圆心在(-2,0)，半径为1的圆
(y-2)/(x-1)表示的圆上的点圆定点(2,1)之间连线的斜率
那么，当过点(2,1)的直线与圆相切时，该斜率有最大（最小）值
设过点(2,1)的直线为：y-1=k(x-2)
===> y-1=kx-2k
===> kx-y-(2k-1)=0
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径
所以：d=|-2k-0-(2k-1)|/√(k^2+1)=1
===> |-4k+1|=√(k^2+1)
===> (4k-1)^2=k^2+1
===> 16k^2-8k+1=k^2+1
===> 15k^2-8k=0
===> k(15k-8)=0
===> k1=0，k2=8/15
所以，(y-2)/(x-1)的最大值为8/15，最小值为0。收起
