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四边形问题

四边形问题在四边形ABCD中, AB= BC,∠ABC=60°,若∠AED=120°,试确定EA+DE+EC和BD的大小关系并证明。

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2008-07-31

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    四边形问题 在四边形ABCD中, AB= BC,∠ABC=60°,若∠AED=120°,试确定EA+DE+EC和BD的大小关系并证明。 证明 EA+DE+EC≥BD, (1) 当E点在BD上时(1)式取等号。
   下面来证明(1)式。连BD,AC,BE。   因为AB= BC,∠ABC=60°,所以△ABC为正三角形,即AB=BC=CA。 又∠AED+∠ABC=120°+60°=180°,故E点在正△ABC的外接圆上。
   根据托勒密定理得: BC*AE+AB*CE+CA*BE AE+CE=BE (2) 在△BED中,显然BE+DE≥BD,当E点落在BD上取等号。   因而由(2)式即得:EA+DE+EC≥BD。
  证毕。 备注:如果没有∠AED=120°条件也成立,难度增加了!。

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