几何问题
以平行四边形四边向外作四个正方形，求证该四个正方形的中点构成一正方形。
以平行四边形四边向外作四个正方形，求证该四个正方形的中点构成一正方形。
运用Von。Aubel定理即可证明。
Von。Aubel定理: 以任意四边形ABCD的边为斜边作四个转向相同的等腰直角三角形ΔABE，ΔBCF，ΔCDG，ΔDAH。 则:EG=FH，EG⊥FH。
证明 连AC，取AC的中点O，连EO，FO，GO，HO。EG，FH的交点为Q。
根据上述引理知:EO=FO，EO⊥FO，GO=HO，GO⊥HO，
而∠EOG=90°+∠EOH=∠FOH。 所以△EOG≌△FOH，
于是得:EG=FH，∠GEO=∠HFO，
因此得E，F，O，Q四点共圆，即得: ∠EOF=90°=∠EQF。...全部
以平行四边形四边向外作四个正方形，求证该四个正方形的中点构成一正方形。
运用Von。Aubel定理即可证明。
Von。Aubel定理: 以任意四边形ABCD的边为斜边作四个转向相同的等腰直角三角形ΔABE，ΔBCF，ΔCDG，ΔDAH。
则:EG=FH，EG⊥FH。
证明 连AC，取AC的中点O，连EO，FO，GO，HO。EG，FH的交点为Q。
根据上述引理知:EO=FO，EO⊥FO，GO=HO，GO⊥HO，
而∠EOG=90°+∠EOH=∠FOH。
所以△EOG≌△FOH，
于是得:EG=FH，∠GEO=∠HFO，
因此得E，F，O，Q四点共圆，即得: ∠EOF=90°=∠EQF。
故EG⊥FH。证毕。
或者运用下列命题:
引理: 以任意三角形ABC的边AB，BC为斜边作两个转向相同的等腰直角三角形ΔABE，ΔBCF，O点是AC的中点，则EO=FO，EO⊥FO。
简证如下: 以F点为中心，对△BEF按逆时针旋转90°，则B→C，设E→D。
显然有 DC=BE，且DC⊥BE，又BE=AE,BE⊥AE，所以 DC∥AE，DC=AE。
从而DE与AC互相平分，即AC的中点O亦为DE的中点。
因为DE是等腰直角△DEF的斜边，故△EOF为等腰直角三角形。
因此EO⊥FO 且EO=FO。
。收起
