以平行四边形四边向外作四个正方形,求证该四个正方形的中点构成一正方形。
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2010-06-13
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2010-02-09
如图(见附件),在等腰直角ABC中,角C=90度,AC=8,F是AB边上的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且保持AD=CE,连接DE,DF,EF。 在此运动变化的过程中,下列结论: 1、DEF是等腰直角三角形;2、四边形CDEF不可能为正方形;3、DE长度的最小值为4;4、四边形CDEF的面积保持不变;5、三角形CDE面积的最大值为8;其中正确的结论是: A,1、2、3 B,1、4、5 C,1、3、4 D,3、4、5 答案:B 如图 连接CF 因为△ABC为等腰直角三角形,所以:∠A=45° 已知点F为斜边AB中点,那么:CF⊥AB,且CF=AF=BF 且,CF平分∠ACB 所以...全部
如图(见附件),在等腰直角ABC中,角C=90度,AC=8,F是AB边上的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且保持AD=CE,连接DE,DF,EF。 在此运动变化的过程中,下列结论: 1、DEF是等腰直角三角形;2、四边形CDEF不可能为正方形;3、DE长度的最小值为4;4、四边形CDEF的面积保持不变;5、三角形CDE面积的最大值为8;其中正确的结论是: A,1、2、3 B,1、4、5 C,1、3、4 D,3、4、5 答案:B 如图 连接CF 因为△ABC为等腰直角三角形,所以:∠A=45° 已知点F为斜边AB中点,那么:CF⊥AB,且CF=AF=BF 且,CF平分∠ACB 所以,∠FCE=45° 那么,在△ADF和△CEF中: AF=CF(已证) ∠A=∠FCE=45°(已证) AD=CE(已知) 所以,△ADF≌△CEF(SAS) 所以,DF=EF,∠AFD=∠CFE 即,△DEF为等腰三角形 因为CF⊥AB,所以,∠AFD+∠DFC=90° 所以,∠CFE+∠DFC=90° 即,∠DFE=90° 所以,△DEF为等腰直角三角形—————————结论①正确 因为AC=BC,AD=CE 那么,当点D、E为AC、BC中点时 已知点F为AB中点 所以,DF,EF为△ABC的中位线 所以,DF//==BC/2,EF//==AC/2 所以,DF=FE=EC=CE 已知∠ACB=90° 所以,四边形CDFE为正方形(图中蓝色部分)——结论②错误 设AD=CE=x 则,CD=AC-AD=8-x 所以,在Rt△DCE中由勾股定理有:DE^2=CD^2+CE^2=(8-x)^2+x^2 =64-16x+2x^2=2*(x^2-8x+16)+32 =2*(x-4)^2+32 那么,二次函数y=2*(x-4)^2+32在x=4时【此时点D、E为AC、BC中点】有最小值,最小值=32 即,DE^2|min=32 所以,DE|min=4√2——————————————结论③错误 由前面证明知,△ADF≌△CFE 所以,S△ADF=S△CFE【两者面积相等】 而,四边形CDEF的面积=S△CDF+S△CFE=S△CDF+S△ADF =S△ACF=(1/2)S△ABC =(1/2)*[(1/2)AC*BC]=(1/4)*8*8=16——————结论④正确 设AD=CE=x 则,CD=AC-AD=8-x 而△CDE为直角三角形 所以,S△CDE=(1/2)*CD*CE=(1/2)*(8-x)*x =(1/2)*(-x^2+8x)=(-1/2)(x^2-8x) =(-1/2)*[(x^2-8x+16)-16] =(-1/2)*(x-4)^2+8 所以,二次函数S=(-1/2)*(x-4)^2+8在x=4时【此时点D、E为AC、BC中点】有最大值,最大值=8——————————结论⑤正确。收起
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