三次方程问题
三次方程问题 已知r,s,t是方程:x^3+ax^2+bx+c=0的三个根，求 (1), 求以r^2,s^2,t^2为根的三次方程; (2), a≠0, 求1/r^2+1/s^2+1/t^2的值。
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已知r,s,t是方程:x^3+ax^2+bx+c=0的三个根，求
(1), 求以r^2,s^2,t^2为根的三次方程;
(2), a≠0, 求1/r^2+1/s^2+1/t^2的值。
首先条件a≠0,要改为c≠0, 解 已知一个一元n次方程，求各根的倒数，相反数及平方数的为根的方程，这类问题不必用韦达定理做。 (1), 因为 (x^3+ax^2+bx+c)*( x^3-ax^2+bx-c) =x^6+(2b-a^2)x^4+(b^2-2ac)x^2-c^2 (1) 故方程x^3+(2b-a^2)x^2+(b^2-2ac)x-c^2=0，即为r^2,s^2,t^2为根的三次方程。
(2), 条件a≠0应该为c≠0。 以1/r^2,1/s^2,1/t^2为根的方程即为方程(1)各系数的倒数，即为: -c^2x^3+(b^2-2ac)x^2+(2b-a^2)x+1=0 (2) 由韦达定理得: 1/r^2+1/s^2+1/t^2=(b^2-2ac)/c^2。
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首先条件a≠0,要改为c≠0, 解 已知一个一元n次方程，求各根的倒数，相反数及平方数的为根的方程，这类问题不必用韦达定理做。 (1), 因为 (x^3+ax^2+bx+c)*( x^3-ax^2+bx-c) =x^6+(2b-a^2)x^4+(b^2-2ac)x^2-c^2 (1) 故方程x^3+(2b-a^2)x^2+(b^2-2ac)x-c^2=0，即为r^2,s^2,t^2为根的三次方程。
(2), 条件a≠0应该为c≠0。 以1/r^2,1/s^2,1/t^2为根的方程即为方程(1)各系数的倒数，即为: -c^2x^3+(b^2-2ac)x^2+(2b-a^2)x+1=0 (2) 由韦达定理得: 1/r^2+1/s^2+1/t^2=(b^2-2ac)/c^2。
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(1)由根与系数的关系（韦达定理）得：
rst=-c；
rs+st+tr=b；
r+s+t=-a
可得：r^2+s^2+t^2=a^2-2b
r^2s^2+s^2t^2+t^2r^2=b^2+2bc
(rst)^2=c^2
于是以r^2,s^2,t^2为根的三次方程为
x^3-(a^2-2b)x^2+(b^2+2bc)x-c^2=0
(2)只需要对(1)所得方程两边同除以x^3，再将1/x换成x即可，于是有：
c^2x^3-(b^2+2bc)x^2+(a^2-2b)x-1=0
它的三个根为1/r^2，1/s^2，1/t^2
所以1/r^2+1/s^2+1/t^2=(b^2+2bc)/c^2
说明：原题中a≠0应为c≠0。
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解：
(1)设方程为x³+a1x²+b1x+c1=0
则r²+s²+t²=-a1
r²t²+t²s²+r²s²=b1
r²t²s²=-c1
∴x³-(r²+s²+t²)x²+(r²t²+t²s²+r²s²)x-r²t²s²=0
r+s+t=-a, rs+st+rt=b, rst=-c
-a1=(r+s+t)²-2(rs+rt+st)=a²-2b
b1=(rs+st+rt)²+2rst(r+s+t)=b²-2ac
-c1=c²
∴x³+(2b-a²)x²+(b²-2ac)x-c²
(2)1/r²+1/s²+1/t²=(s²t²+r²t²+r²s²)/(rst)=(b²-2ac)/c²。
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