数学高手进10．已知点F是双曲线
10．已知点F是双曲线 的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 （ ）
A．（1，+无穷 ） B．（1，2）
C．（1，1+根号2 ） D．（2，1+根号2 ）
如图
设双曲线方程为：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a、b＞0）
则左焦点F(-c,0)、右顶点E(a,0)
过F的垂直x轴的直线与双曲线相交于A、B两点，那么由对称性知，∠EAF=∠EBF
由三角形的内角和为180°可以得到，∠EAF=∠EBF＜90°
所以，要满足△ABE为锐角三角形只需要∠AEB为锐角
所以，∠AEF=∠B...全部
10．已知点F是双曲线 的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 （ ）
A．（1，+无穷 ） B．（1，2）
C．（1，1+根号2 ） D．（2，1+根号2 ）
如图
设双曲线方程为：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a、b＞0）
则左焦点F(-c,0)、右顶点E(a,0)
过F的垂直x轴的直线与双曲线相交于A、B两点，那么由对称性知，∠EAF=∠EBF
由三角形的内角和为180°可以得到，∠EAF=∠EBF＜90°
所以，要满足△ABE为锐角三角形只需要∠AEB为锐角
所以，∠AEF=∠BEF＜45°
则，0＜tan∠AEF＜1……………………………………………（1）
直线AB为x=-c
联立直线与双曲线方程有：x^2/a^2-y^2/b^2=1，x=-c
所以：c^2/a^2-y^2/b^2=1
===> y^2/b^2=c^2/a^2-1
===> y^2/b^2=(c^2-a^2)/a^2
===> y^2/b^2=b^2/a^2
===> y^2=b^4/a^2
===> y=b^2/a
所以，tan∠AEF=AF/EF=(b^2/a)/(a+c)
则：(b^2/a)/(a+c)＜1
===> b^2/a＜a+c
===> b^2＜a^2+ac
===> a^2+ac-b^2＞0
===> a^2+ac-(c^2-a^2)＞0
===> 2a^2+ac-c^2＞0
===> (2a-c)(a+c)＞0
===> 2a-c＞0
===> 2a＞c
===> c/a＜2
即，e＜2
又，双曲线的离心率e＞1
所以，1＜e＜2
答案：B。
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