一道高中数学题已知抛物线X2=4
解：抛物线x^2=4y 所以焦点F(0,1) 准线y=-1
抛物线和圆得交点容易得到A(-4,4) B(4,4)
设M(x1,y1) N(x2,y2) 直线方程带入抛物线 得到
x^2=4(kx+b)
所以 x1+x2=4k 所以y1+y2=k(x1+x2)+2b=4k^2+2b
所以 MF+NF=y1+1+y2+1=y1+y2+2=4k^2+2b+2
因为直线和圆相切
所以原点到直线的距离等于半径 即 b/√(k^2+1)=4√2 即 b^2=32(k^2+1)
所以 MF+NF=4(k^2+1)+2b-2
=1/8*b^2+2b-2
因为 b是截距 最小的时候是平行x轴相切 此时...全部
解：抛物线x^2=4y 所以焦点F(0,1) 准线y=-1
抛物线和圆得交点容易得到A(-4,4) B(4,4)
设M(x1,y1) N(x2,y2) 直线方程带入抛物线 得到
x^2=4(kx+b)
所以 x1+x2=4k 所以y1+y2=k(x1+x2)+2b=4k^2+2b
所以 MF+NF=y1+1+y2+1=y1+y2+2=4k^2+2b+2
因为直线和圆相切
所以原点到直线的距离等于半径 即 b/√(k^2+1)=4√2 即 b^2=32(k^2+1)
所以 MF+NF=4(k^2+1)+2b-2
=1/8*b^2+2b-2
因为 b是截距 最小的时候是平行x轴相切 此时b=4√2
最大的时候 是过点A(B)得截距 此时b=8 //利用直线过(-4,4) 且直线到原点距离等于半径可以求得
所以 4√2<=b<=8
所以 MF+NF=1/8*b^2+2b-2
=1/8*(b+8)^2 -10
所以当b=8 的时候 最大max=22
。
收起
