抛物线已知抛物线C的顶点在原点，
这里，我们从理论上来说明题目确实有误。然后指出楼上两位关于第二题的解答与问题所问完全无关，我们老老实实地把定点求出来。
如果M的纵坐标真的为3/4，则根据x=(y-1)/(-4)
可求出其横坐标为1/16。
将 y=-4x+1 代入 y^2=2px ，得
16x^2-(2p+8)x+1=0 ，设他的两个不同的实数根为 x1和x2，
则根据
(1)中点坐标公式 (x1+x2)/2=1/16；
(2)韦达定理 x1+x2=(2p+8)/16。
可得到 p=-3。
p=-3不符合题意，实际上直线与抛物线根本没有交点，
或者说方程组 y=-4x+1，y^2=2px 无解。
这就充分说明了楼...全部
这里，我们从理论上来说明题目确实有误。然后指出楼上两位关于第二题的解答与问题所问完全无关，我们老老实实地把定点求出来。
如果M的纵坐标真的为3/4，则根据x=(y-1)/(-4)
可求出其横坐标为1/16。
将 y=-4x+1 代入 y^2=2px ，得
16x^2-(2p+8)x+1=0 ，设他的两个不同的实数根为 x1和x2，
则根据
(1)中点坐标公式 (x1+x2)/2=1/16；
(2)韦达定理 x1+x2=(2p+8)/16。
可得到 p=-3。
p=-3不符合题意，实际上直线与抛物线根本没有交点，
或者说方程组 y=-4x+1，y^2=2px 无解。
这就充分说明了楼主的题目要不是抄错了，就是题目本身就是错的。
[1]
在M的横坐标为3/4的情况下，重复上面的过程，
则根据x=(y-1)/(-4)可求出其横坐标为 -2，即 M=(3/4,-2)。
将 y=-4x+1 代入 y^2=2px ，得
16x^2-(2p+8)x+1=0 ，设他的两个不同的实数根为 x1和x2，
则根据
(1)中点坐标公式 (x1+x2)/2=3/2；
(2)韦达定理 x1+x2=(2p+8)/16。
可得到 p=8, 即所求抛物线C的方程是 y²=16x
[2]
若以PQ为直径的圆过坐标原点O，则OP⊥OQ，
设OP的斜率为k，则OQ的斜率是-1/k。
由 y=kx，y²=16x，可求得 P=(16/k^2,16/k)
由 -ky=x，y²=16x，可求得 Q=(16k^2,-16k)
先求出直线 PQ的斜率 k/(1-k^2)，
进一步求出直线 PQ的方程 (1-k^2)y=k(x-16)。
可见满足题意的直线 PQ确实经过一个定点，那就是 M=(16,0)。收起
