二次项定理习题
证明这个n阶算术平均值大于一阶算术平均值的方法很多。这儿作为二次项展开的习题,我们用二项式展开来做。
我们先来证明一个结论: 对任何k:0,1,。。。,n
a^kb^(n-k)+a^(n-k)b^k=0 所以上面不等式 (1)成立。
把要证的不等式写成:
2^n(a^n+b^n)>=2(a+b)^n。 。。。。(2)
看右边2(a+b)^n=(a+b)^n+(b+a)^n=[C(n,0)a^0b^n+C(n。 1)a^1b^(n-1)+。。。+C(n,n)a^0b^n]+[C(n,0)b^0a^n+C(n,1)b^1a^(n-1)+。。。+C(n,n)b^na^0]
展开,其k项为...全部
证明这个n阶算术平均值大于一阶算术平均值的方法很多。这儿作为二次项展开的习题,我们用二项式展开来做。
我们先来证明一个结论: 对任何k:0,1,。。。,n
a^kb^(n-k)+a^(n-k)b^k=0 所以上面不等式 (1)成立。
把要证的不等式写成:
2^n(a^n+b^n)>=2(a+b)^n。 。。。。(2)
看右边2(a+b)^n=(a+b)^n+(b+a)^n=[C(n,0)a^0b^n+C(n。
1)a^1b^(n-1)+。。。+C(n,n)a^0b^n]+[C(n,0)b^0a^n+C(n,1)b^1a^(n-1)+。。。+C(n,n)b^na^0]
展开,其k项为 C(n,k)a^kb^(n-k)+C(n,k)b^ka^(n-k)
=C(n,k)[a^kb^(n-k)+b^ka^(n-k)] (根据不等式(1))
<=C(n,k)[a^n+b^n]
所以2(a+b)^n=(a+b)^n+(b+a)^n
<=C(n。
0)(a^n+b^n)+C(n,1)(a^n+b^n)+。。。+C(n,k)(a^n+b^n)+。。。+C(n。n)(a^n+b^n)
=(a^n+b^n)*(C(n,0)+C(n,1)+。
。。+C(n,n))
=(a^n+b^n)2^n=(2)的左边
因此(2)得证。
。收起