三角函数求值域问题f(x)=si
方法一：
y=f(x)=sinx/√(5+4cosx)
y=±√(1-cosx^2)/√(5+4cosx)
=±√{5/8-(5+4cosx)/16-9/[16(5+4cosx)]}
如果a>0,b>0则有公式）：a+b>=2√（ab),
a=(5+4cosx)/16>0,b=9/[16(5+4cosx)]>0
a+b >=2√（ab) =2√{(5+4cosx)/16*9/[16(5+4cosx)]} =3/8
所以：
1）0≤x≤π
y=-√[5/8-2√(ab)] =-√(5/8-3/8) =-1/2
总上： 值域-1/2<=f(x)<=1/2
方法二：
首先这是一个连续可导函数，通...全部
方法一：
y=f(x)=sinx/√(5+4cosx)
y=±√(1-cosx^2)/√(5+4cosx)
=±√{5/8-(5+4cosx)/16-9/[16(5+4cosx)]}
如果a>0,b>0则有公式）：a+b>=2√（ab),
a=(5+4cosx)/16>0,b=9/[16(5+4cosx)]>0
a+b >=2√（ab) =2√{(5+4cosx)/16*9/[16(5+4cosx)]} =3/8
所以：
1）0≤x≤π
y=-√[5/8-2√(ab)] =-√(5/8-3/8) =-1/2
总上： 值域-1/2<=f(x)<=1/2
方法二：
首先这是一个连续可导函数，通过求出边界值以及极值，可求得值域
求导
f'(x)
= cosx/根号(5+4cosx) + 2(sinx)^2/(5+4cosx)^(3/2)
= [cosx (5+4cosx) + 2(sinx)^2]/(5+4cosx)^(3/2)
= [2(cosx)^2 + 5cosx + 2]/(5+4cosx)^(3/2)
= (2cosx + 1)(cosx + 2)/(5+4cosx)^(3/2)
所以 当 2cosx + 1 = 0 即 cosx = -1/2 时
f'(x) = 0
cosx = -1/2 对应
x = 120 度 sinx = √3 /2
以及
x = 240 度 sinx = -√3/2
在 x = 120 度时
f(x) = (√3 /2)/√(5 - 4 *1/2) = 1/2
在 x = 240度时
f(x) = -1/2
而在边界处
f(0) = f(360度) = 0
在 [0<=x<=2π] 上， f(x) 是连续函数。
结合边界取值以及极值情况可以知道
f(x) 在 [0, 120] 单调递增， 在 [120, 240] 单调递减，在[240,360]单调递增。
综上所述， 值域为
[-1/2, 1/2]。
收起
