三角函数求值域问题
求函数y=(sinxcosx)/(1+sinx+cosx)的值域
全部回答
求函数y=(sinxcosx)/(1+sinx+cosx)的值域
解析:设sinx+cosx=t, 其中t=√2sin(x+π/4)∈〔-√2,-1)∪(- 1,√2〕
则 2sinxcosx=(sinx+cosx)＾2-1=t＾2-1
即 sinxcosx=(t＾2-1)/2
∴ y=(sinxcosx)/(1+sinx+cosx)
=〔(t＾2-1)/2〕/(1+t)
=(t-1)/2
∵t∈〔-√2,-1)∪(-1,√2〕
∴(t-1)∈〔-√2-1,-2)∪(-2,√2-1〕
(t-1)/2∈〔(-√2-1)/2,-1)∪(-1,(√2-1)/2〕
故:函数y=(sinxcosx)/(1+sinx+cosx)的值域为
〔(-√2-1)/2,-1)∪(-1,(√2-1)/2〕
。
。
。
设sinx+cosx=t-1,因为(sinx)^2+(cosx)^2=1
即:(sinx+cosx)^2-2sinxcosx=1,所以sinxcosx=(t^2-2t)/2
所以y=(t^2-2t)/2t=t/2-1,又因为sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
所以t-1=√2sin(x+π/4),所以t=√2sin(x+π/4)+1
而-√2≤√2sin(x+π/4)≤√2
所以1-√2≤t≤1+√2,所以-(1+√2)/2≤t/2-1≤(√2-1)/2
即y=(sinxcosx)/(1+sinx+cosx)的值域为[-(1+√2)/2,(√2-1)/2]。
。
。
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