求助初三数学题
(1)
因为AN是圆O的直径,且AB⊥弦DF
所以,AB为DF的垂直平分线
而,点E为AB上一点
所以,ED=EF
(2)
延长DE交圆O于点G,连接CG、OG
由(1)知,AB为DF的垂直平分线,且ED=EF
所以,AE为∠DEF的平分线
即,∠DEA=∠FEA
而,∠DEA=∠BEG,∠FEA=∠CEB
所以,∠BEG=∠BEC
即,AB为∠CEG的平分线
又,∠GCE=∠GDF,∠CGE=∠CDF
且,∠GDF=∠CDF
所以,∠GCE=∠CGE,即△GCE为等腰三角形
所以,AB⊥CG
即,AB也是CG的垂直平分线
所以,OC=OG
所以,∠COB=∠GOB
即,∠COB=∠COG...全部
(1)
因为AN是圆O的直径,且AB⊥弦DF
所以,AB为DF的垂直平分线
而,点E为AB上一点
所以,ED=EF
(2)
延长DE交圆O于点G,连接CG、OG
由(1)知,AB为DF的垂直平分线,且ED=EF
所以,AE为∠DEF的平分线
即,∠DEA=∠FEA
而,∠DEA=∠BEG,∠FEA=∠CEB
所以,∠BEG=∠BEC
即,AB为∠CEG的平分线
又,∠GCE=∠GDF,∠CGE=∠CDF
且,∠GDF=∠CDF
所以,∠GCE=∠CGE,即△GCE为等腰三角形
所以,AB⊥CG
即,AB也是CG的垂直平分线
所以,OC=OG
所以,∠COB=∠GOB
即,∠COB=∠COG/2
而,∠CDG=∠COG/2
所以,∠COB=∠CDG
即,∠COP=∠PDE
又,∠P公共
所以,△PCO∽△PED
所以,PO/PD=PC/PE
即,PC*PD=P0*PE………………………………………………(1)
而,PCD和PBA事自圆O外一点P引的两条弦
所以,PB*PA=PC*PD……………………………………………(2)
由(1)(2)就有:
PA*PB=PO*PE
(3)
由(1)结论知,ED=EF
若DE⊥CF
则,△DEF为等腰直角三角形
所以,∠EDF=∠EFD=45°
又,AB为∠DEF的平分线
所以,∠DEH=∠FEH=45°
而,∠DEH=∠P+∠PDE
所以,∠PDE=∠DEH-∠P=45°-15°=30°
所以,∠FDC=∠FDE+∠PDE=45°+30°=75°
所以,∠DCF=180°-∠FDC-∠DFC=180°-75°-45°=60°
因为△DCF为圆O的内接圆
所以,由正弦定理有:DF/sin∠DCF=2R=4
所以,DF=4*sin∠DCF=4*sin60°=4*(√3/2)=2√3
所以,DH=FH=DF/2=√3
那么,在等腰Rt△DHE中,DE=√2*DH=√2*√3=√6
所以,FE=DE=√6
又,DE⊥CF
所以,在Rt△DEC中,CE/DE=tan∠CDE=tan30°=(√3/3)
所以,CE=(√3/3)*DE=(√3/3)*√6=√2
所以,CF=CE+EF=√2+√6。
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