初中几何证明题

在ΔABC中,各边不相等，0,I,H分别为外心，内心与垂心.求证 ∠IOH＜π/6.

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2010-03-20

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    证明设s,R,r分别表示ΔABC的半周长，外接圆与内切圆半径。计算得: OH^2=9R^2+8*R*r+2r^2-2s^2， IH^2=4R^2+4R*r+3r^2-s^2， OI^2=R*(R-2r) 。
   记x=4R^2+4R*r+3r^2-s^2，,y=R-2r。  显然x>0,y>0。所以欲证∠IOHIH^2。 (1) 而 OH^2+OI^2-IH^2=2(R+r)y+x， 3*OH*OI=3Ry[(R+2r)y+2x] (1) 2(R+r)*y+x>√3R*y*[(R+2r)*y+2x] (2) (2)式两边平方整理得: x^2-2x*y^2+y^4+6Rry^2>0 (x-y^2)^2++6Rry^2>0，显然成立。
     所以∠IOH<π/6。。

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